Justificar o motivo de cada item abaixo estar FALSO: Sejam
, y e
números reais não nulos.
Passo 1
O enunciado pede que eu justifique por que a afirmação abaixo é FALSA, dado que
,
e
são números reais não nulos:
Informações relevantes dadas:
-
, e são números reais não nulos (obs.: não aparece na igualdade, logo é irrelevante aqui). - A igualdade é proposta como uma identidade (deveria valer para todos os
), e eu preciso justificar por que isso é falso.
Passo 2
Vamos expandir o membro da direita para ver o que ele vale de fato. Primeiro aplicamos a distributiva (produto de um binômio por um polinômio):
Agora multiplicamos termo a termo:
Subtraindo os dois resultados:
Agora juntamos termos semelhantes:
Passo 3
Comparando com o membro esquerdo
, vemos que o membro direito expandido difere por termos mistos:
Fatorando a diferença
obtemos
Portanto
Passo 4
Da igualdade acima concluímos que a igualdade proposta só ocorreria quando o termo extra
for zero. Ou seja, a igualdade proposta é equivalente à condição
Como no enunciado foi dito que
e
são não nulos, temos
. Logo a única possibilidade restante para a condição ser satisfeita é
, isto é,
. Assim, a igualdade proposta só é verdadeira quando
. Mas uma identidade algébrica válida para todos os
não pode depender dessa condição; portanto a proposição é falsa como identidade geral.
Passo 5
Uma forma direta e muito didática de mostrar que a afirmação é falsa é dar um contraexemplo numérico. Tome
e
(ambos não nulos). Calculamos:
Como
, a igualdade não vale para esses valores; portanto não é uma identidade verdadeira.
Passo 6
Para completar a aula: a fatoração correta da diferença de cubos é
Podemos verificar expandindo a direita:
ou então encontrando coeficientes por comparação. Note que o termo proposto no enunciado usava
em vez de
, o que introduz o termo extra
que vimos e que torna a igualdade falsa em geral.
Resposta
FALSO.