Justificar o motivo de cada item abaixo estar FALSO: Sejam x, y e z números reais não nulos.
x^{3}-y^{3}=(x-y)\left(x^{2}+2 x y+y^{2}\right)

Passo 1

O enunciado pede que eu justifique por que a afirmação abaixo é FALSA, dado que x, y e z são números reais não nulos:
x^{3}-y^{3}=(x-y)\left(x^{2}+2xy+y^{2}\right).
Informações relevantes dadas:
  • x, y e z são números reais não nulos (obs.: z não aparece na igualdade, logo é irrelevante aqui).
  • A igualdade é proposta como uma identidade (deveria valer para todos os x,y), e eu preciso justificar por que isso é falso.

Passo 2

Vamos expandir o membro da direita para ver o que ele vale de fato. Primeiro aplicamos a distributiva (produto de um binômio por um polinômio):
(x-y)\left(x^{2}+2xy+y^{2}\right)=x\left(x^{2}+2xy+y^{2}\right)-y\left(x^{2}+2xy+y^{2}\right).
Agora multiplicamos termo a termo:
x\left(x^{2}+2xy+y^{2}\right)=x^{3}+2x^{2}y+xy^{2},
y\left(x^{2}+2xy+y^{2}\right)=yx^{2}+2xy^{2}+y^{3}=x^{2}y+2xy^{2}+y^{3}.
Subtraindo os dois resultados:
(x-y)\left(x^{2}+2xy+y^{2}\right)=\bigl(x^{3}+2x^{2}y+xy^{2}\bigr)-\bigl(x^{2}y+2xy^{2}+y^{3}\bigr).
Agora juntamos termos semelhantes:
= x^{3}+(2x^{2}y-x^{2}y)+(xy^{2}-2xy^{2})-y^{3}
= x^{3}+x^{2}y-xy^{2}-y^{3}.

Passo 3

Comparando com o membro esquerdo x^{3}-y^{3}, vemos que o membro direito expandido difere por termos mistos:
(x-y)\left(x^{2}+2xy+y^{2}\right)=x^{3}-y^{3}+x^{2}y-xy^{2}.
Fatorando a diferença x^{2}y-xy^{2} obtemos
x^{2}y-xy^{2}=xy(x-y).
Portanto
(x-y)\left(x^{2}+2xy+y^{2}\right)=x^{3}-y^{3}+xy(x-y).

Passo 4

Da igualdade acima concluímos que a igualdade proposta só ocorreria quando o termo extra xy(x-y) for zero. Ou seja, a igualdade proposta é equivalente à condição
xy(x-y)=0.
Como no enunciado foi dito que x e y são não nulos, temos xy\neq 0. Logo a única possibilidade restante para a condição ser satisfeita é x-y=0, isto é, x=y. Assim, a igualdade proposta só é verdadeira quando x=y. Mas uma identidade algébrica válida para todos os x,y não pode depender dessa condição; portanto a proposição é falsa como identidade geral.

Passo 5

Uma forma direta e muito didática de mostrar que a afirmação é falsa é dar um contraexemplo numérico. Tome x=2 e y=1 (ambos não nulos). Calculamos:
\text{LHS}=x^{3}-y^{3}=2^{3}-1^{3}=8-1=7,
\text{RHS}=(x-y)\left(x^{2}+2xy+y^{2}\right)=(2-1)\bigl(4+4+1\bigr)=1\cdot 9=9.
Como 7\neq 9, a igualdade não vale para esses valores; portanto não é uma identidade verdadeira.

Passo 6

Para completar a aula: a fatoração correta da diferença de cubos é
x^{3}-y^{3}=(x-y)\left(x^{2}+xy+y^{2}\right).
Podemos verificar expandindo a direita:
(x-y)\left(x^{2}+xy+y^{2}\right)=x^{3}+x^{2}y+xy^{2}-x^{2}y-xy^{2}-y^{3}=x^{3}-y^{3},
ou então encontrando coeficientes por comparação. Note que o termo proposto no enunciado usava 2xy em vez de xy, o que introduz o termo extra xy(x-y) que vimos e que torna a igualdade falsa em geral.

Resposta

FALSO.

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