Justificar todas as respostas. Não é permitido o uso de calculadoras.
Uma barra uniforme tem comprimento
, massa
, e está apoiada em uma parede vertical sem atrito a uma altura
acima do piso. Uma força horizontal
é aplicada na escada a uma distância d da base (medida ao longo da escada). Suponha que o coeficiente de atrito estático entre a escada e o chão é dado e igual a u. Determine
As condições de equilibrio para a barra.
Uma barra uniforme tem comprimento
As condições de equilibrio para a barra.
Passo 1
Beleza, aqui temos uma barra (tipo escada) homogênea de comprimento
e massa
apoiada no chão e encostada numa parede lisa (sem atrito). A altura do contato com a parede é
. No ponto que fica a uma distância
da base, vem alguém e aplica uma força horizontal
. Entre chão e barra há atrito estático de coeficiente
.
Conteúdo: estática de corpos rígidos – equilíbrio de forças e momentos e condição de atrito. Vamos precisar de:
Conteúdo: estática de corpos rígidos – equilíbrio de forças e momentos e condição de atrito. Vamos precisar de:
- Equilíbrio de forças verticais e horizontais.
- Equilíbrio de torques (momentos) em torno da base.
- A condição de atrito estático
.
Passo 2
Equilíbrio vertical (eixo
):
– Só há o peso para baixo e a reação normal do chão
para cima.
Logo
– Só há o peso
Logo
Passo 3
Equilíbrio horizontal (eixo
):
– Tem a força externa (supondo que empurra a barra em direção à parede), a reação
da parede (para fora) e a força de atrito
no chão (que se ajusta para impedir o deslizamento).
– Tem a força externa
Passo 4
Equilíbrio de torques em relação ao ponto de contato no chão (para eliminar o torque de
e de
):
– A reação horizontal da parede
gera torque que tende a “levantar” a base:
torque .
– O peso aplicado no centro da barra (a
da base) gera torque que tende a “fechar” a barra:
torque .
– A força aplicada a
da base também gera torque “fechando” a barra:
torque .
torque
– O peso
torque
– A força
torque
Somando momentos com sinal positivo para o torque de
:
Aqui
é o ângulo da barra com o chão, e
,
.
Passo 5
Da equação de torque isolamos
:
Subindo isso em
:
Logo
Reorganizando para achar o limite máximo de
:
Resposta
As condições de equilíbrio estático são:
- Vertical:
- Horizontal:
- Torque em relação à base:
Disso resulta a condição para
não derrubar nem deslizar a barra: