Justificar todas as respostas. Não é permitido o uso de calculadoras.
Uma barra uniforme tem comprimento L, massa M, e está apoiada em uma parede vertical sem atrito a uma altura h acima do piso. Uma força horizontal F é aplicada na escada a uma distância d da base (medida ao longo da escada). Suponha que o coeficiente de atrito estático entre a escada e o chão é dado e igual a u. Determine
O torque da força peso em relacao ao ponto de contato da barra com o chão.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma barra uniforme de comprimento $ L $, massa $ M $, apoiada contra uma parede vertical sem atrito a uma altura $ h $ do chão. Uma força horizontal $ F $ é aplicada na escada a uma distância $ d $ da base. O coeficiente de atrito estático entre a escada e o chão é $ u $.
O que precisamos determinar é o torque da força peso em relação ao ponto de contato da barra com o chão.
Para resolver isso, vamos precisar entender os conceitos de torque (ou momento de força) e como calcular torque em sistemas estáticos. Vamos dar uma olhada no passo a passo para chegar à resposta final.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é torque. Torque é uma medida de como uma força causa a rotação de um objeto em torno de um ponto. A fórmula básica para calcular o torque ($ \tau $) é:
tau
Onde:
  • $ r $ é a distância perpendicular entre o ponto de aplicação da força e o eixo de rotação.
  • $ F $ é a força aplicada.
  • $ \theta $ é o ângulo entre a força e a linha que conecta o ponto de rotação ao ponto de aplicação da força.
No nosso caso, queremos encontrar o torque da força peso da barra em relação ao ponto de contato com o chão.

Passo 3

A força peso ($ P $) atua no centro de massa da barra. Como a barra é uniforme, o centro de massa está no meio do comprimento, ou seja, a uma distância $ \frac{L}{2} $ da base.
A força peso é dada por:
P
Onde $ g $ é a aceleração da gravidade (aproximadamente $ 9,8 , m/s^2 $).

Passo 4

Agora, precisamos encontrar a distância perpendicular ($ r $) entre a linha da força peso e o ponto de rotação (contato com o chão).
Observando a configuração da barra, podemos formar um triângulo retângulo onde:
  • A base é $ h $ (altura de apoio na parede).
  • A hipotenusa é $ L $ (comprimento da barra).
  • O ângulo de contato com o chão podemos chamar de $ \theta $.
Podemos relacionar essas medidas usando o seno:
r
Portanto, $ \theta = \arcsin\left(\frac{h}{L}\right) $.

Passo 5

A distância perpendicular $ r $ é a distância horizontal do ponto de rotação até a linha da ação da força peso. Como a força peso age verticalmente para baixo, $ r $ será:
r
Usando $ \sin(\theta) = \frac{h}{L} $, podemos encontrar $ \cos(\theta) $:
r

Passo 6

Agora, podemos calcular o torque ($ \tau $) da força peso:
tau
Como $ \sin(90^\circ) = 1 $, simplificamos para:
tau = r times P times sin(90^circ)
Substituindo $ r $ e $ P $:
sin(90^circ) = 1
tau = r times P

Resposta

O torque da força peso em relação ao ponto de contato da barra com o chão é:
tau = L2 times raiz1 - (hL)^2 times M times g

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