Um oscilador harmónico quântico unidimensional (cuja energia do estado fundamental é hbar omega2 ) está em equilibrio térmico com um reservatório de calor à temperatura T.
Determine o desvio padrão na energia, De, em torno de lang<= Erang<=.
Informações relevantes:
l Gamma(t+1)=integral0^infty z^t cdot exp (-z) cdot d z=t cdot Gamma(t) wed>= Gamma(t+n)=(t+n-1) cdot(t+n-2) ldots(t+1) cdot t cdot Gamma(t) onde n é um n positivo Se n^circ t=1 , Gamma(n+1)=n!=n cdot(n-1) (n-2) ldots 1 cdot Gamma(1) ; Gamma(12)=raizpi integral0^infty x^3 cdot exp (-a cdot x^2) cdot d x=12 cdot a^2 wed>= integral0^infty x^4 cdot exp (-a cdot x^2) cdot d x=38 a^2 raizpia integral0^infty z^2 cdot d ze^z-1=2,41 ; integral0^infty z^3 cdot d ze^z-1=pi^415 ; me=9,11 times 10^-31 kg=0,511 MeV / C^2 kB=1.38 times 10^-23 J / K=8.62 times 10^-5 eV / K ; h=6.63 times 10^-34 J s=4,136 times 10^-15 eV s ; gB E=8 pi cdot E^2(h c)^3 wed>= gF D=8 cdot raiz2 cdot pi cdot me 32h^3 cdot E^12 ; h2 pi=1.055 times 10^-34 Js=6.582 times 10^-16 eV cdot s rhoA l=2.7 gcm^3, muA l=26.98 gmol, E=h^22 me(3 N8 pi V)^23, NA=6.02 times 10^23 particulas mol , integral0^infty x^p d xe^x-1=Gamma(p+1) zeta(p+1) ; cosh varphi=e^varphi+e^-varphi2, Senh varphi=e^varphi-e^-varphi2 ; sumn=0^infty exp (-n beta hbar omega)=1+exp (-beta hbar omega)+exp (-2 beta hbar omega)+exp (-3 beta hbar omega)+cdots =11-exp (-beta hbar omega) é

Passo 1

Beleza, o enunciado diz o seguinte: temos um oscilador harmónico quântico 1D, cujos níveis de energia são
En=hbaromegal(n+tfrac12r),, n=0,1,2,dots
ele está em equilíbrio térmico à temperatura . A gente precisa achar o desvio padrão da energia, .
Conteúdo: mecânica quântica (níveis de energia do oscilador) e estatística (função de partição, média e variância). Vamos usar:
  • funçã o particionária , com ,
  • relações e .

Passo 2

Primeiro montamos a partição:
Z(beta)=sumn=0^infty e^-betahbaromega(n+tfrac12) =e^-betahbaromega/2sumn=0^inftyl(e^-betahbaromegar)^n
Isso é série geométrica, então
sumn=0^infty r^n=11-r(r=e^-betahbaromega)
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Z(beta) =e^-betahbaromega/2 1-e^-betahbaromega =12sinhl(tfrac12betahbaromegar),

Passo 3

Agora achamos a média de energia:
lang<= Erang<= =-partialpartialbetaln Z =-partialbetal[-tfrac12betahbaromega-lnl(1-e^-betahbaromegar)r] =hbaromega2+hbaromegae^betahbaromega-1,
Aqui usei .

Passo 4

Para a variância vale o truque
lang<=(De
pois , então .

Passo 5

Basta derivar mais uma vez partial^2betaln Z =;0 -hbar^2omega^2e^-betahbaromega(1-e^-betahbaromega)^2 =(hbaromega)^2,e^betahbaromegal(e^betahbaromega-1r)^2, .
  1. De.
  2. Outra derivada:
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Resposta

boxedDe

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