Justifique a afirmação a seguir se for verdadeira ou apresente um contra-exemplo se for falsa. points) [ ] Se não é contínua no ponto então o não existe.
Passo 1
Resumo do enunciado e conteúdo
O enunciado pergunta se a afirmação “se não é contínua em , então não existe” é verdadeira. O conteúdo envolvido é a definição de limite e de continuidade de funções reais. Para resolver, vamos lembrar as definições e ver se a falta de continuidade sempre impede a existência do limite.
Passo 2
Definição de limite e continuidade
Uma função tem limite se, ao aproximar de (por qualquer lado), os valores se aproximam de .
A função é contínua em se existe o valor e ele coincide com ; ou seja,
Note que a existência do limite é parte da definição de continuidade, mas em princípio o limite pode existir mesmo que seja diferente ou nem esteja definido.
Passo 3
Análise da implicação
A afirmação dada é:
“ não contínua em não existe.”
Em outras palavras, está dizendo que sempre que a continuidade falhar, o limite também falha de existir. Vamos testar se isso é necessariamente verdade.
Passo 4
Apresentação de contra-exemplo
Definimos a função
Escolhemos a=0.
Passo 5
Verificação do contra-exemplo
Para verificar a existência do limite, note que para todo xneq0 temos f(x)=0. Logo
limxto 0f(x)=0
Entretanto, f(0)=1neq 0. Assim, a condição de continuidade limxto 0f(x)=f(0)
falha, pois 0neq1. Ou seja, f não é contínua em 0 mas o limite existe.