Justifique a afirmação a seguir se for verdadeira ou apresente um contra-exemplo se for falsa.
(0,75 points) [ ] Se f(x) não é contínua no ponto x=a então o lim x a f(x) não existe.

Passo 1

Resumo do enunciado e conteúdo
O enunciado pergunta se a afirmação “se f(x) não é contínua em x=a, então limxto af(x) não existe” é verdadeira. O conteúdo envolvido é a definição de limite e de continuidade de funções reais. Para resolver, vamos lembrar as definições e ver se a falta de continuidade sempre impede a existência do limite.

Passo 2

Definição de limite e continuidade
Uma função f tem limite limxto af(x)=L se, ao aproximar x de a (por qualquer lado), os valores f(x) se aproximam de L.
A função é contínua em x=a se existe o valor limxto af(x) e ele coincide com f(a); ou seja,
contínua em aLong<=ftrightarrowlimxto af(x)=f(a) í
Note que a existência do limite é parte da definição de continuidade, mas em princípio o limite pode existir mesmo que f(a) seja diferente ou nem esteja definido.

Passo 3

Análise da implicação
A afirmação dada é:
f não contínua em a ;Longrightarrow; limxto af(x) não existe.”
Em outras palavras, está dizendo que sempre que a continuidade falhar, o limite também falha de existir. Vamos testar se isso é necessariamente verdade.

Passo 4

Apresentação de contra-exemplo
Definimos a função
f(x)= 0, & xneq 0, 1, & x=0
Escolhemos a=0.

Passo 5

Verificação do contra-exemplo
  1. Para verificar a existência do limite, note que para todo xneq0 temos f(x)=0. Logo
limxto 0f(x)=0
  1. Entretanto, f(0)=1neq 0. Assim, a condição de continuidade
    limxto 0f(x)=f(0)
    falha, pois 0neq1. Ou seja, f não é contínua em 0 mas o limite existe.
Isso mostra que a afirmação original é falsa.

Resposta

A afirmação é falsa. Um contra-exemplo é
f(x)= 0, & xneq 0, 1, & x=0,
que não é contínua em 0 mas tem limxto0f(x)=0.

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