Justifique se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas.
Sejam
matrizes reais quadradas
. Se
é invertível então
.
Sejam
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma conclusão:
- São dadas matrizes reais quadradas
e de ordem . - Sabe-se que
é invertível (ou seja, existe tal que , onde é a matriz identidade ).
A pergunta é: a afirmação
é verdadeira ou falsa?
Passo 2
Vou lembrar uma propriedade fundamental do determinante que vou usar: a multiplicatividade.
A propriedade diz que, para quaisquer matrizes quadradas compatíveis e
,
A propriedade diz que, para quaisquer matrizes quadradas compatíveis
Explicando devagar:
é um número (o determinante de
). Se multiplicamos duas matrizes
e
para obter
, o determinante do produto é o produto dos determinantes. Aqui
e
são variáveis que representam matrizes
, e a igualdade vale sempre que o produto
esteja definido (no caso quadrado, sempre está).
Passo 3
Outra propriedade simples e útil é o determinante da inversa: se
é invertível então
Justificativa curta e intuitiva: como
, aplicando a propriedade da multiplicatividade temos
Mas
. Portanto
. Aqui
porque a identidade tem todos os autovalores iguais a
(ou pela definição padrão do determinante).
Passo 4
Agora aplico a multiplicatividade ao determinante da conjugação
.
Primeiro agrupo como e uso a propriedade
:
Primeiro agrupo como
Em seguida aplico novamente a multiplicatividade em
:
Substituindo, obtenho
Passo 5
Agora uso a propriedade da inversa do determinante vista no Passo 3, isto é
. Substituindo na expressão do Passo 4:
Como
é um número diferente de zero (porque
é invertível), podemos simplificar
com
, sobrando
Passo 6
Portanto a igualdade pedida é verdadeira sempre que
seja invertível. Intuitivamente: a operação
é uma mudança de base (conjugação) que não altera os autovalores de
; como o determinante é o produto dos autovalores, ele permanece inalterado. Mas o argumento formal que usei acima é apenas com propriedades básicas dos determinantes (multiplicatividade e inversa).
Passo 7
Exemplo numérico rápido para sentir a coisa: tome
Então
. Calculando
(onde
) obtém-se uma matriz cujo determinante também é
. Isso ilustra o resultado concreto.]
Passo 8
Conclusão curta: a afirmação é verdadeira, e a prova depende apenas de duas propriedades elementares do determinante já explicadas.
Resposta
Verdadeira.