Justifique se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas.
Sejam A, B matrizes reais quadradas n \times n. Se A é invertível então \operatorname{det}\left(A \cdot B \cdot A^{-1}\right)=\operatorname{det}(B).

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma conclusão:
  • São dadas matrizes reais quadradas A e B de ordem n.
  • Sabe-se que A é invertível (ou seja, existe A^{-1} tal que A\cdot A^{-1}=I, onde I é a matriz identidade n\times n).
    A pergunta é: a afirmação
\text{``se \(A\) é invertível então } \det\!\bigl(A\cdot B\cdot A^{-1}\bigr)=\det(B)\text{''}éíã
é verdadeira ou falsa?

Passo 2

Vou lembrar uma propriedade fundamental do determinante que vou usar: a multiplicatividade.
A propriedade diz que, para quaisquer matrizes quadradas compatíveis X e Y,
\det(X\cdot Y)=\det(X)\cdot\det(Y).
Explicando devagar: \det(X) é um número (o determinante de X). Se multiplicamos duas matrizes X e Y para obter X\cdot Y, o determinante do produto é o produto dos determinantes. Aqui X e Y são variáveis que representam matrizes n\times n, e a igualdade vale sempre que o produto X\cdot Y esteja definido (no caso quadrado, sempre está).

Passo 3

Outra propriedade simples e útil é o determinante da inversa: se A é invertível então
\det(A^{-1})=\frac{1}{\det(A)}.
Justificativa curta e intuitiva: como A\cdot A^{-1}=I, aplicando a propriedade da multiplicatividade temos
\det(A)\cdot\det(A^{-1})=\det(I).
Mas \det(I)=1. Portanto \det(A^{-1})=1/\det(A). Aqui \det(I)=1 porque a identidade tem todos os autovalores iguais a 1 (ou pela definição padrão do determinante).

Passo 4

Agora aplico a multiplicatividade ao determinante da conjugação A\cdot B\cdot A^{-1}.
Primeiro agrupo como (A\cdot B)\cdot A^{-1} e uso a propriedade \det(XY)=\det(X)\det(Y):
\det\!\bigl(A\cdot B\cdot A^{-1}\bigr)=\det(A\cdot B)\cdot\det(A^{-1}).
Em seguida aplico novamente a multiplicatividade em \det(A\cdot B):
\det(A\cdot B)=\det(A)\cdot\det(B).
Substituindo, obtenho
\det\!\bigl(A\cdot B\cdot A^{-1}\bigr)=\det(A)\cdot\det(B)\cdot\det(A^{-1}).

Passo 5

Agora uso a propriedade da inversa do determinante vista no Passo 3, isto é \det(A^{-1})=1/\det(A). Substituindo na expressão do Passo 4:
\det\!\bigl(A\cdot B\cdot A^{-1}\bigr)=\det(A)\cdot\det(B)\cdot\frac{1}{\det(A)}.
Como \det(A) é um número diferente de zero (porque A é invertível), podemos simplificar \det(A) com 1/\det(A), sobrando
\det\!\bigl(A\cdot B\cdot A^{-1}\bigr)=\det(B).

Passo 6

Portanto a igualdade pedida é verdadeira sempre que A seja invertível. Intuitivamente: a operação B\mapsto A B A^{-1} é uma mudança de base (conjugação) que não altera os autovalores de B; como o determinante é o produto dos autovalores, ele permanece inalterado. Mas o argumento formal que usei acima é apenas com propriedades básicas dos determinantes (multiplicatividade e inversa).

Passo 7

Exemplo numérico rápido para sentir a coisa: tome
A=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & 2\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt]1 & 0\end{pmatrix}.
Então \det(B)=-1. Calculando A\cdot B\cdot A^{-1} (onde A^{-1}=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & 1/2\end{pmatrix}) obtém-se uma matriz cujo determinante também é -1. Isso ilustra o resultado concreto.]

Passo 8

Conclusão curta: a afirmação é verdadeira, e a prova depende apenas de duas propriedades elementares do determinante já explicadas.

Resposta

Verdadeira.

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