Justifique se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas.
Se \left\{\vec{v}_{1}, \ldots, \vec{v}_{k}\right\} são vetores linearmente independentes em um espaço vetorial V e \overrightarrow{0} é o vetor nulo de V, então \left\{\overrightarrow{0}, \vec{v}_{1}, \ldots, \vec{v}_{k}\right\} é um conjunto linearmente independente.

Passo 1

O enunciado informa que o conjunto \{\vec{v}_{1}, \ldots, \vec{v}_{k}\} é formado por vetores linearmente independentes em um espaço vetorial V. Também é dado que \overrightarrow{0} é o vetor nulo de V. A questão a ser respondida é: o conjunto \{\overrightarrow{0}, \vec{v}_{1}, \ldots, \vec{v}_{k}\} é linearmente independente? Deve-se justificar se a afirmação é verdadeira ou falsa.

Passo 2

Para solucionar a questão, vamos recordar a definição de independência linear. Um conjunto de vetores S=\{\vec{w}_0,\vec{w}_1,\dots,\vec{w}_m\} é dito linearmente independente se a única solução para a combinação linear
a_0\vec{w}_0 + a_1\vec{w}_1 + \cdots + a_m\vec{w}_m = \overrightarrow{0}
é a_0=a_1=\cdots=a_m=0. Se existir uma solução em que pelo menos um dos escalares a_i é diferente de zero, então o conjunto é linearmente dependente. Em outras palavras: um conjunto é independente se a única maneira de somar múltiplos escalares dos vetores e obter o vetor nulo é utilizando todos os coeficientes iguais a zero.

Passo 3

Uma propriedade fundamental do vetor nulo é que, para qualquer escalar c, temos
c\,\overrightarrow{0}=\overrightarrow{0}.
Isto é, multiplicar o vetor nulo por qualquer escalar sempre resulta no vetor nulo.

Passo 4

Analisemos o conjunto dado no enunciado: \{\overrightarrow{0}, \vec{v}_{1}, \ldots, \vec{v}_{k}\}. Consideremos a combinação linear com os seguintes coeficientes:
a_0=1,\qquad a_1=0,\qquad a_2=0,\qquad\ldots,\qquad a_k=0.
Calculando a combinação linear, obtemos:
a_0\overrightarrow{0}+a_1\vec{v}_1+\cdots+a_k\vec{v}_k =1\cdot\overrightarrow{0}+0\cdot\vec{v}_1+\cdots+0\cdot\vec{v}_k =\overrightarrow{0}.

Passo 5

Observe que, nesta combinação linear, o coeficiente a_0 é diferente de zero. Portanto, encontramos uma solução não trivial (com algum coeficiente não nulo) para a equação
a_0\overrightarrow{0}+a_1\vec{v}_1+\cdots+a_k\vec{v}_k=\overrightarrow{0}.
Com base na definição apresentada no Passo 2, isso implica que o conjunto \{\overrightarrow{0}, \vec{v}_{1}, \ldots, \vec{v}_{k}\} é linearmente dependente.

Passo 6

Em termos gerais, qualquer conjunto que inclua o vetor nulo é automaticamente linearmente dependente. Isso ocorre porque basta escolher um coeficiente não nulo para o vetor nulo e coeficientes nulos para os demais vetores para obter uma combinação linear nula. Portanto, a presença de \overrightarrow{0} torna o conjunto dependente, independentemente de os demais vetores serem independentes entre si.

Passo 7

Para ilustrar, considere o seguinte exemplo em \mathbb{R}^2: seja \vec{v}_1=(1,0), que, individualmente, é linearmente independente. Ao adicionar \overrightarrow{0}=(0,0), obtemos o conjunto \{(0,0),(1,0)\}. A combinação 1\cdot(0,0)+0\cdot(1,0)=(0,0) demonstra a dependência linear, conforme explicado anteriormente. Portanto, o conjunto \{\overrightarrow{0}, \vec{v}_{1}, \ldots, \vec{v}_{k}\} é linearmente dependente.

Resposta

Falsa.

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