Justifique se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas.
Se
são vetores linearmente independentes em um espaço vetorial
e
é o vetor nulo de
, então
é um conjunto linearmente independente.
Se
Passo 1
O enunciado informa que o conjunto
é formado por vetores linearmente independentes em um espaço vetorial
. Também é dado que
é o vetor nulo de
. A questão a ser respondida é: o conjunto
é linearmente independente? Deve-se justificar se a afirmação é verdadeira ou falsa.
Passo 2
Para solucionar a questão, vamos recordar a definição de independência linear. Um conjunto de vetores
é dito linearmente independente se a única solução para a combinação linear
é
. Se existir uma solução em que pelo menos um dos escalares
é diferente de zero, então o conjunto é linearmente dependente. Em outras palavras: um conjunto é independente se a única maneira de somar múltiplos escalares dos vetores e obter o vetor nulo é utilizando todos os coeficientes iguais a zero.
Passo 3
Uma propriedade fundamental do vetor nulo é que, para qualquer escalar
, temos
Isto é, multiplicar o vetor nulo por qualquer escalar sempre resulta no vetor nulo.
Passo 4
Analisemos o conjunto dado no enunciado:
. Consideremos a combinação linear com os seguintes coeficientes:
Calculando a combinação linear, obtemos:
Passo 5
Observe que, nesta combinação linear, o coeficiente
é diferente de zero. Portanto, encontramos uma solução não trivial (com algum coeficiente não nulo) para a equação
Com base na definição apresentada no Passo 2, isso implica que o conjunto
é linearmente dependente.
Passo 6
Em termos gerais, qualquer conjunto que inclua o vetor nulo é automaticamente linearmente dependente. Isso ocorre porque basta escolher um coeficiente não nulo para o vetor nulo e coeficientes nulos para os demais vetores para obter uma combinação linear nula. Portanto, a presença de
torna o conjunto dependente, independentemente de os demais vetores serem independentes entre si.
Passo 7
Para ilustrar, considere o seguinte exemplo em
: seja
, que, individualmente, é linearmente independente. Ao adicionar
, obtemos o conjunto
. A combinação
demonstra a dependência linear, conforme explicado anteriormente. Portanto, o conjunto
é linearmente dependente.
Resposta
Falsa.