Resolva as equações homogêneas usando a substituição y=u x e obtenha a solução explícita y(x) :
(y^2-y x) d x-x^2 d y=0, x>0

Passo 1

Enunciado e conteúdo: temos a equação diferencial homogênea
(y^2 - yx),dx - x^2,dy = 0,
com condição x>0. Como o termo y^2 - yx e x^2 são do mesmo grau em x e y, podemos usar a substituição de variável y = u x para transformar em uma equação separável.

Passo 2

Aplicação da substituição: definimos
y = u x,
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dy = u,dx + x,du
Substituindo em
(y^2 - yx),dx - x^2,dy = 0,
obtemos
(u^2x^2 - ux^2),dx - x^2(u,dx + x,du) = 0

Passo 3

Redução e separação de variáveis: ao expandir e agrupar termos vemos
x^2l(u^2 - u - ur),dx - x^3,du = 0
isto é
u(u - 2),dx - x,du = 0
ou ainda
dudx = u(u - 2)x
Isso é uma equação diferencial separável.

Passo 4

Integração por frações parciais: separamos as variáveis
integral duu(u - 2) = integral dxx
Fazendo frações parciais
1u(u - 2) = -tfrac121u + tfrac121u - 2,
temos
integral l(-tfrac121u + tfrac121u - 2r) du = integral dxx
que leva a
-tfrac12ln|u| + tfrac12ln|u - 2| = ln|x| + C1

Passo 5

Exponenciação e resolução para u: multiplicando por 2 e exponenciando,
lnl|u - 2ur| = 2ln|x| + C2
l|u - 2ur| = C x^2,
onde C absorve o sinal e constantes. Assim
u - 2u = Cx^2
1 - 2u = Cx^2
u = 21 - Cx^2

Passo 6

Volta à variável original e solução geral: como y = ux, substituímos
y(x) = x cdot 21 - Cx^2 = 2x1 - Cx^2,
com C constante de integração.

Resposta

y(x) = 2x1 - Cx^2, C constante de integração çã

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