Resolva as equações homogêneas usando a substituição
e obtenha a solução explícita
:
Passo 1
Enunciado e conteúdo: temos a equação diferencial homogênea
com condição
. Como o termo
e
são do mesmo grau em
e
, podemos usar a substituição de variável
para transformar em uma equação separável.
Passo 2
Aplicação da substituição: definimos
logo
Substituindo em
obtemos
Passo 3
Redução e separação de variáveis: ao expandir e agrupar termos vemos
isto é
ou ainda
Isso é uma equação diferencial separável.
Passo 4
Integração por frações parciais: separamos as variáveis
Fazendo frações parciais
temos
que leva a
Passo 5
Exponenciação e resolução para
: multiplicando por 2 e exponenciando,
onde
C absorve o sinal e constantes. Assim
Passo 6
Volta à variável original e solução geral: como
y = ux , substituímos
com
C constante de integração.