Justifique cada uma das 4 seguintes igualdades:
\lim _{x \rightarrow 2} \frac{|x|-2}{x^{2}-4} \stackrel{(1)}{=} \lim _{x \rightarrow 2} \frac{x-2}{x^{2}-4} \stackrel{(2)}{=} \lim _{x \rightarrow 2} \frac{x-2}{(x-2)(x+2)} \stackrel{(3)}{=} \lim _{x \rightarrow 2} \frac{1}{x+2} \stackrel{(4)}{=} \frac{1}{4} .

Passo 1

O enunciado pede que a gente justifique, uma a uma, as igualdades na cadeia
\lim_{x\to 2}\frac{|x|-2}{x^{2}-4}\stackrel{(1)}{=}\lim_{x\to 2}\frac{x-2}{x^{2}-4}\stackrel{(2)}{=}\lim_{x\to 2}\frac{x-2}{(x-2)(x+2)}\stackrel{(3)}{=}\lim_{x\to 2}\frac{1}{x+2}\stackrel{(4)}{=}\frac{1}{4}.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
\text{expressão inicial: }\frac{|x|-2}{x^{2}-4},\qquad\text{ponto de interesse: }x\to 2.ã
Não há valores numéricos adicionais nem figuras. A tarefa é explicar por que cada passo algébrico/analítico que transforma a expressão mantém o mesmo limite.

Passo 2

Justificativa da igualdade (1): [\displaystyle \lim_{x\to 2}\frac{|x|-2}{x^{2}-4}=\lim_{x\to 2}\frac{x-2}{x^{2}-4}).
A ideia aqui é usar uma propriedade simples do valor absoluto e uma propriedade de limites:
  1. Definição e propriedade do valor absoluto: |x|=\begin{cases}x,&x\ge 0,\\\\ -x,&x<0.\end{cases}\] Como estamos tomando \(x\to 2, os valores de x que ficam próximos de 2 (tanto pela esquerda quanto pela direita) são positivos — por exemplo, para todo x em (1,3) temos x>0 e então |x|=x. Logo, existe uma vizinhança de 2 (por exemplo (1,3)) em que |x|=x para todos x nessa vizinhança.
  2. Teorema usado para limites: se duas funções f e g são iguais em algum vizinhança deletada de a (isto é, iguais para todos x com 0<|x-a|<\delta), então \lim_{x\to a} f(x)=\lim_{x\to a} g(x) (quando os limites existirem ou forem iguais como limite finito/infinito). Aqui, \frac{|x|-2}{x^{2}-4} e \frac{x-2}{x^{2}-4} coincidem para todo x em (1,3)\setminus\{2\}. Portanto, seus limites quando x\to 2 são iguais, justificando (1).
(Exemplo rápido para fixar: se h(x)=|x|-1 e k(x)=x-1, então \lim_{x\to 2}h(x)=\lim_{x\to 2}k(x) porque perto de 2 temos |x|=x.)

Passo 3

Justificativa da igualdade (2): \displaystyle \lim_{x\to 2}\frac{x-2}{x^{2}-4}=\lim_{x\to 2}\frac{x-2}{(x-2)(x+2)}.
Aqui usamos a fatoração clássica de diferença de quadrados. A identidade algébrica é
x^{2}-4=x^{2}-2^{2}=(x-2)(x+2),
válida para todo x. Substituindo x^{2}-4 por (x-2)(x+2) obtemos exatamente a expressão do lado direito. Observação técnica: essa igualdade de funções é válida para todos os x, mas quando a escrevemos como uma razão com um fator (x-2) no denominador, devemos lembrar que para x=2 a expressão original também tem denominador zero. Porém, para limites só nos interessa o comportamento para x próximo de 2 com x\neq 2. Assim, a substituição é legítima na vizinhança deletada de 2, e pelo mesmo raciocínio do passo anterior, os limites coincidem.

Passo 4

Justificativa da igualdade (3): \displaystyle \lim_{x\to 2}\frac{x-2}{(x-2)(x+2)}=\lim_{x\to 2}\frac{1}{x+2}.
Esta etapa é a simplificação algébrica por cancelamento do fator comum (x-2). A regra algébrica é: se x\neq 2, então
\frac{x-2}{(x-2)(x+2)}=\frac{1}{x+2}.
Novamente, a fórmula não é válida no próprio x=2 (ali a expressão não está definida), mas vale para todo x em uma vizinhança deletada de 2. Como nos passos anteriores, duas funções que coincidem em uma vizinhança deletada têm o mesmo limite em 2. Portanto podemos cancelar (x-2) e concluir (3).
(Comentário didático: o cancelamento só pode ser feito para x diferentes de 2. Isso é suficiente para limites porque a definição de limite ignora o valor da função no ponto em si.)

Passo 5

Justificativa da igualdade (4): \displaystyle \lim_{x\to 2}\frac{1}{x+2}=\frac{1}{4}.
Agora usamos a propriedade de continuidade de funções racionais. A função x\mapsto \dfrac{1}{x+2} é uma função racional que é contínua em todo ponto onde o denominador não se anula. Em particular, em x=2 temos x+2=4\neq 0, logo a função é contínua em 2. Para funções contínuas, \lim_{x\to a} f(x)=f(a). Assim,
\lim_{x\to 2}\frac{1}{x+2}=\frac{1}{2+2}=\frac{1}{4}.
(Pequena explicação sobre continuidade: dizer que f é contínua em a significa que o valor de f em a coincide com o limite de f(x) quando x\to a. Funções polinomiais e racionais (quando o denominador é não nulo) são contínuas.)

Resposta

\displaystyle \frac{1}{4}

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