Justifique cada uma das 4 seguintes igualdades:
Passo 1
O enunciado pede que a gente justifique, uma a uma, as igualdades na cadeia
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
Não há valores numéricos adicionais nem figuras. A tarefa é explicar por que cada passo algébrico/analítico que transforma a expressão mantém o mesmo limite.
Passo 2
Justificativa da igualdade (1): [\displaystyle \lim_{x\to 2}\frac{|x|-2}{x^{2}-4}=\lim_{x\to 2}\frac{x-2}{x^{2}-4}).
A ideia aqui é usar uma propriedade simples do valor absoluto e uma propriedade de limites:
-
Definição e propriedade do valor absoluto: , os valores de
que ficam próximos de (tanto pela esquerda quanto pela direita) são positivos — por exemplo, para todo em temos e então . Logo, existe uma vizinhança de (por exemplo ) em que para todos nessa vizinhança. -
Teorema usado para limites: se duas funções
e são iguais em algum vizinhança deletada de (isto é, iguais para todos com ), então (quando os limites existirem ou forem iguais como limite finito/infinito). Aqui, e coincidem para todo em . Portanto, seus limites quando são iguais, justificando (1).
(Exemplo rápido para fixar: se
e
, então
porque perto de
temos
.)
Passo 3
Justificativa da igualdade (2):
Aqui usamos a fatoração clássica de diferença de quadrados. A identidade algébrica é
válida para todo
. Substituindo
por
obtemos exatamente a expressão do lado direito. Observação técnica: essa igualdade de funções é válida para todos os
, mas quando a escrevemos como uma razão com um fator
no denominador, devemos lembrar que para
a expressão original também tem denominador zero. Porém, para limites só nos interessa o comportamento para
próximo de
com
. Assim, a substituição é legítima na vizinhança deletada de
, e pelo mesmo raciocínio do passo anterior, os limites coincidem.
Passo 4
Justificativa da igualdade (3):
Esta etapa é a simplificação algébrica por cancelamento do fator comum
. A regra algébrica é: se
, então
Novamente, a fórmula não é válida no próprio
(ali a expressão não está definida), mas vale para todo
em uma vizinhança deletada de
. Como nos passos anteriores, duas funções que coincidem em uma vizinhança deletada têm o mesmo limite em
. Portanto podemos cancelar
e concluir (3).
(Comentário didático: o cancelamento só pode ser feito para
diferentes de
. Isso é suficiente para limites porque a definição de limite ignora o valor da função no ponto em si.)
Passo 5
Justificativa da igualdade (4):
Agora usamos a propriedade de continuidade de funções racionais. A função
é uma função racional que é contínua em todo ponto onde o denominador não se anula. Em particular, em
temos
, logo a função é contínua em
. Para funções contínuas,
. Assim,
(Pequena explicação sobre continuidade: dizer que
é contínua em
significa que o valor de
em
coincide com o limite de
quando
. Funções polinomiais e racionais (quando o denominador é não nulo) são contínuas.)