Justifique a continuidade das funções abaixo.
f(x)=cos (e^raizx)

Passo 1

O enunciado pede para justificar que a função
f(x)=cosl(e^raizxr)
é contínua. O conteúdo que vamos usar é que funções elementares como a raiz quadrada, a exponencial e o cosseno são contínuas em seus domínios, e que a composição de funções contínuas é contínua.

Passo 2

Identificamos o domínio de f. Como aparece raizx, precisamos de x>=0. Logo
Dom(f)=[0,infty)

Passo 3

Vejamos as etapas da composição:
  1. g(x)=raizx é contínua em [0,infty) porque a raiz quadrada é uma função elementar contínua nesse intervalo.
  2. h(u)=e^u é contínua em R pois a função exponencial é contínua em todo o seu domínio.
  3. k(v)=cos(v) é contínua em R porque o cosseno é uma função trigonométrica contínua em todo o eixo real.

Passo 4

Como g, h e k são contínuas nos respectivos domínios e
f(x) = kl(h(g(x))r),
concluímos que f é contínua em [0,infty) pela regra da composição de funções contínuas.

Resposta

A função f(x)=cosl(e^raizxr) é contínua em todo o seu domínio [0,infty).

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