Questāo 3 (3 pontos)
Um laboratório desenvolve um produto químico cuja eficiência é dada por E(x)=-x^3+6 x^2-9 x+15, onde x é a quantidade do reagente em gramas.
(a) Determine a taxa de variação da eficiência.
(b) Encontre a quantidade que maximiza a eficiência.
(c) Calcule a eficiência máxima.

Passo 1

O enunciado dá a eficiência de um produto químico como função de x (quantidade do reagente em gramas):
E(x) = -x^3 + 6x^2 - 9x + 15
O conteúdo aqui é cálculo de derivadas para obter a taxa de variação, e otimização de funções (encontrar máximos usando pontos críticos e o teste da segunda derivada).

Passo 2

Para determinar a taxa de variação de E, calculamos a derivada E'(x). Usamos as regras:
– derivada de x^n é n x^n-1,
– derivada de uma constante é zero.
Assim,
E'(x) = ddxl(-x^3r) + ddxl(6x^2r) - ddxl(9xr) + ddxl(15r) = -3x^2 + 12x - 9

Passo 3

Para achar os pontos críticos, igualamos E'(x)=0:
-3x^2 + 12x - 9 = 0
Dividindo por -3:
x^2 - 4x + 3 = 0 Longrightarrow (x-1)(x-3)=0
Logo, os candidatos são x=1 e x=3.

Passo 4

Usamos o teste da segunda derivada para classificar:
E''(x) = ddxl(-3x^2 + 12x - 9r) = -6x + 12
Para x=1: E''(1) = -6 + 12 = 6 > 0, é mínimo local.
Para x=3: E''(3) = -18 + 12 = -6 < 0, é máximo local.
Portanto, a quantidade que maximiza é x=3 gramas.

Passo 5

Para achar a eficiência máxima, avaliamos E em x=3:
E(3) = -(3)^3 + 6,(3)^2 - 9,(3) + 15 = -27 + 54 - 27 + 15 = 15

Resposta

(a) E'(x) = -3x^2 + 12x - 9
(b) A eficiência é máxima em x = 3 g.
(c) A eficiência máxima é E(3) = 15.

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