Questāo 3 (3 pontos)
Um laboratório desenvolve um produto químico cuja eficiência é dada por
, onde
é a quantidade do reagente em gramas.
(a) Determine a taxa de variação da eficiência.
(b) Encontre a quantidade que maximiza a eficiência.
(c) Calcule a eficiência máxima.
Um laboratório desenvolve um produto químico cuja eficiência é dada por
(a) Determine a taxa de variação da eficiência.
(b) Encontre a quantidade que maximiza a eficiência.
(c) Calcule a eficiência máxima.
Passo 1
O enunciado dá a eficiência de um produto químico como função de
(quantidade do reagente em gramas):
O conteúdo aqui é cálculo de derivadas para obter a taxa de variação, e otimização de funções (encontrar máximos usando pontos críticos e o teste da segunda derivada).
Passo 2
Para determinar a taxa de variação de
, calculamos a derivada
. Usamos as regras:
– derivada de é
,
– derivada de uma constante é zero.
Assim,
– derivada de
– derivada de uma constante é zero.
Assim,
Passo 3
Para achar os pontos críticos, igualamos
:
Dividindo por
:
Logo, os candidatos são
e
.
Passo 4
Usamos o teste da segunda derivada para classificar:
Para
:
, é mínimo local.
Para :
, é máximo local.
Portanto, a quantidade que maximiza é gramas.
Para
Portanto, a quantidade que maximiza é
Passo 5
Para achar a eficiência máxima, avaliamos
em
:
Resposta
(a)
(b) A eficiência é máxima em g.
(c) A eficiência máxima é .
(b) A eficiência é máxima em
(c) A eficiência máxima é