1. (1,0 ponto) Calcule integral0^pi^29 tg raizxraizx d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral0^pi^29 tanraizxraizx,dx
Aqui vamos usar uma mudança de variável para transformar essa integral numa forma mais simples, envolvendo a integral de tan(u).

Passo 2

Fazemos a substituição
u = raizx,
de modo que
x = u^2, dx = 2u,du
Os limites em x convertem-se em limites em u:
quando x=0 temos u=0, e quando x=pi^29 temos u=pi3.

Passo 3

Substituindo na integral original, obtemos
integral0^pi^29 tanraizxraizx,dx = integral0^pi3 tan(u)u,l(2u,dur) = 2 integral0^pi3 tan(u),du

Passo 4

Sabemos que
integral tan(u),du = -lnl|cos(u)r| + C
Portanto,
2 integral0^pi3 tan(u),du = 2l[-lnl|cos(u)r|r]0^pi3 = 2l(-lncostfracpi3 + lncos0r) = 2l(-lntfrac12 + ln1r) = 2ln2

Resposta

2ln2

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