Dada a função
Determine se
é contínua na origem e justifique sua resposta.
Determine se
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para verificar se a função $ f(x, y) $ é contínua na origem
. Para isso, vamos usar conceitos de continuidade de funções de duas variáveis e analisar o limite da função quando
se aproxima de
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função $ f(x, y) $ é contínua na origem se o limite de $ f(x, y) $ quando
se aproxima de
for igual ao valor da função nesse ponto, ou seja:
Aqui, $ f(0, 0) = 0 $, então precisamos verificar se o limite da função conforme
se aproxima de
também é 0.
Passo 3
Vamos calcular o limite da função $ f(x, y) = \frac{2x + y}{|x| + |y|} $ quando
se aproxima de
. Para isso, vamos analisar o limite por diferentes caminhos que chegam à origem e ver se todos resultam no mesmo valor.
Passo 4
Primeiro, vamos considerar o caminho onde $ x = 0 $. Substituindo na função:
Agora, vamos ver o que acontece quando $ y $ se aproxima de 0:
- Se $ y $ se aproxima de 0 pela direita ($ y > 0 $), então $ \frac{y}{|y|} = 1 $.
- Se $ y $ se aproxima de 0 pela esquerda ($ y < 0 $), então $ \frac{y}{|y|} = -1 $.
Isso significa que o limite depende da direção de aproximação e, portanto, não é único.
Passo 5
Vamos analisar outro caminho para confirmar. Considere o caminho onde $ y = 2x $. Substituindo na função:
Novamente, dependendo de $ x $ se aproxima de 0 pela direita ou pela esquerda:
- Se $ x $ se aproxima de 0 pela direita ($ x > 0 $), $ \frac{x}{|x|} = 1 $, então $ f(x, 2x) = \frac{4}{3} $.
- Se $ x $ se aproxima de 0 pela esquerda ($ x < 0 $), $ \frac{x}{|x|} = -1 $, então $ f(x, 2x) = -\frac{4}{3} $.
Mais uma vez, o limite não é único.
Passo 6
Como encontramos diferentes valores para o limite ao aproximar pela vertical ($ x = 0
y = 2x $), concluímos que o limite da função $ f(x, y) $ quando
tende a
não existe de forma única.
Resposta
A função $ f(x, y) $ não é contínua na origem
, pois o limite quando
se aproxima de
não existe de maneira única.