Dada a função f(x, y)= 2 x+y|x|+|y| & , se (x, y) neq(0,0) 0 & , se (x, y)=(0,0)
Determine se f é contínua na origem e justifique sua resposta.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para verificar se a função $ f(x, y) $ é contínua na origem f(x, y) . Para isso, vamos usar conceitos de continuidade de funções de duas variáveis e analisar o limite da função quando (0,0) se aproxima de (x, y).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função $ f(x, y) $ é contínua na origem se o limite de $ f(x, y) $ quando f(x, y) se aproxima de f(x, y) for igual ao valor da função nesse ponto, ou seja:
(x, y)
Aqui, $ f(0, 0) = 0 $, então precisamos verificar se o limite da função conforme (0,0) se aproxima de lim(x, y) to (0,0) f(x, y) = f(0, 0) também é 0.

Passo 3

Vamos calcular o limite da função $ f(x, y) = \frac{2x + y}{|x| + |y|} $ quando f(x, y) = 2x + y|x| + |y| se aproxima de (x, y). Para isso, vamos analisar o limite por diferentes caminhos que chegam à origem e ver se todos resultam no mesmo valor.

Passo 4

Primeiro, vamos considerar o caminho onde $ x = 0 $. Substituindo na função:
x = 0
Agora, vamos ver o que acontece quando $ y $ se aproxima de 0:
  • Se $ y $ se aproxima de 0 pela direita ($ y > 0 $), então $ \frac{y}{|y|} = 1 $.
  • Se $ y $ se aproxima de 0 pela esquerda ($ y < 0 $), então $ \frac{y}{|y|} = -1 $.
Isso significa que o limite depende da direção de aproximação e, portanto, não é único.

Passo 5

Vamos analisar outro caminho para confirmar. Considere o caminho onde $ y = 2x $. Substituindo na função:
y = 2x
Novamente, dependendo de $ x $ se aproxima de 0 pela direita ou pela esquerda:
  • Se $ x $ se aproxima de 0 pela direita ($ x > 0 $), $ \frac{x}{|x|} = 1 $, então $ f(x, 2x) = \frac{4}{3} $.
  • Se $ x $ se aproxima de 0 pela esquerda ($ x < 0 $), $ \frac{x}{|x|} = -1 $, então $ f(x, 2x) = -\frac{4}{3} $.
Mais uma vez, o limite não é único.

Passo 6

Como encontramos diferentes valores para o limite ao aproximar pela vertical ($ x = 0 x = 0 y = 2x $), concluímos que o limite da função $ f(x, y) $ quando y = 2x tende a f(x, y) não existe de forma única.

Resposta

A função $ f(x, y) $ não é contínua na origem f(x, y) , pois o limite quando (0,0) se aproxima de (x, y) não existe de maneira única.

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