Justifique a convergência das séries abaixo e calcule as somas correspondentes:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma série infinita para analisar:
. Nosso objetivo é mostrar que essa série converge e descobrir quanto ela vale no final. Vamos usar conceitos de séries geométricas para isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma série geométrica. Uma série geométrica tem a forma
, onde
é o termo inicial e
é a razão. Para que essa série convirja, o valor de
precisa ser menor que 1. Se isso acontecer, a soma da série é
.
Passo 3
Vamos dividir nossa série original em duas séries separadas para facilitar:
Agora, temos duas séries geométricas!
Passo 4
Vamos analisar a primeira série:
. Podemos reescrever isso como:
Aqui,
e
. Como
, sabemos que essa série converge e podemos usar a fórmula da soma:
Passo 5
Agora, vamos para a segunda série:
. Nessa série,
e
. Como
, essa série também converge. Aplicando a fórmula da soma:
Passo 6
Finalmente, para encontrar a soma total da nossa série original, somamos as somas das duas séries que separamos:
Resposta
A série
converge e a sua soma é igual a 6.