Justifique a convergência das séries abaixo e calcule as somas correspondentes:
sumn=0^infty(0,8^n+1+0,5^n).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma série infinita para analisar: sumn=0^infty(0,8^n+1+0,5^n). Nosso objetivo é mostrar que essa série converge e descobrir quanto ela vale no final. Vamos usar conceitos de séries geométricas para isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma série geométrica. Uma série geométrica tem a forma sumn=0^infty ar^n, onde a é o termo inicial e r é a razão. Para que essa série convirja, o valor de |r| precisa ser menor que 1. Se isso acontecer, a soma da série é a1 - r.

Passo 3

Vamos dividir nossa série original em duas séries separadas para facilitar:
sumn=0^infty 0,8^n+1 + sumn=0^infty 0,5^n
Agora, temos duas séries geométricas!

Passo 4

Vamos analisar a primeira série: sumn=0^infty 0,8^n+1. Podemos reescrever isso como:
0,8 cdot sumn=0^infty 0,8^n
Aqui, a = 0,8 e r = 0,8. Como |0,8| < 1, sabemos que essa série converge e podemos usar a fórmula da soma:
0,81 - 0,8 = 0,80,2 = 4

Passo 5

Agora, vamos para a segunda série: sumn=0^infty 0,5^n. Nessa série, a = 1 e r = 0,5. Como |0,5| < 1, essa série também converge. Aplicando a fórmula da soma:
11 - 0,5 = 10,5 = 2

Passo 6

Finalmente, para encontrar a soma total da nossa série original, somamos as somas das duas séries que separamos:
4 + 2 = 6

Resposta

A série sumn=0^infty(0,8^n+1+0,5^n) converge e a sua soma é igual a 6.

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