Considere os pontos A=(1,2,2), B=(2,4,3), C=(-1,4,2), D=(7,1,3) e E=(-4,16,5).
a) Determine a area do paralelogramo que possui A, B e C como vértices.
b) Escreva o vetor A E como combinação linear de A B e A C.
c) Determine o volume do paralelepípedo de vértices A, B, C e D.
d) Mostre que A, B e C não são colineares.
e) Mostre que A, B, C e D não são coplanares.

Passo 1

O enunciado dá os pontos
A=(1,2,2), B=(2,4,3), C=(-1,4,2), D=(7,1,3) e E=(-4,16,5).
O conteúdo envolve operações vetoriais em R^3: soma e subtração de vetores, produto vetorial para área de paralelogramo, combinação linear, produto misto (ou triplo escalar) para volume de paralelepípedo e testes de colinearidade e coplanaridade.

Passo 2

Calcular os vetores fundamentais:
AB = B - A = (2-1,;4-2,;3-2) = (1,,2,,1),
AC = C - A = (-1-1,;4-2,;2-2) = (-2,,2,,0),
AD = D - A = (7-1,;1-2,;3-2) = (6,,-1,,1),
AE = E - A = (-4-1,;16-2,;5-2) = (-5,,14,,3)

Passo 3

Para a área do paralelogramo com vértices em A,B,C usamos
Área = l|ABtimesACr| Á
Fazendo o produto vetorial,
ABtimesAC = l(1,2,1r)times(-2,2,0) = (-2,,-2,,6),
então
l|ABtimesACr| = raiz(-2)^2+(-2)^2+6^2 = raiz44 = 2raiz11

Passo 4

Queremos escalar
Isso dá o sistema
(da terceira coordenada ). Substituindo em obtém-se . Logo

Passo 5

O volume do paralelepípedo de arestas AB,AC,AD é
V = l|det[AB,AC,AD]r|
Calculando o determinante
det 1 & -2 & 6 2 & 2 & -1 1 & 0 & 1 = -4,
temos V = |-4| = 4.

Passo 6

Para mostrar que A,B,C não são colineares bastam verificar que AB e AC não são múltiplos um do outro. Como
ABtimesAC = (-2,-2,6)neq(0,0,0),
os vetores são linearmente independentes, logo A,B,C não são colineares.

Passo 7

Para mostrar que A,B,C,D não são coplanares usamos o produto misto:
det[AB,AC,AD] = -4neq 0
Como o triplo escalar é não nulo, AB,AC,AD são linearmente independentes, logo A,B,C,D não ficam no mesmo plano.

Resposta

(a) 2raiz11.
(b) AE = 3,AB + 4,AC.
(c) 4.
(d) Como ABtimesACneq(0,0,0), não são colineares.
(e) Como det[AB,AC,AD]neq 0, não são coplanares.

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