(a) Justifique o fato de que o número de maneiras de se escolher r objetos de um conjunto com n objetos, sem considerar a ordem, ser dado por
binomnr=n!(n-r)!cdot r!

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o enunciado está pedindo. A gente quer descobrir de quantas maneiras dá pra escolher objetos dentre , sem ligar para a ordem dessas escolhas. Isso é combinatória básica: contegens, combinações e fatoriais. Para resolver, vamos usar:
  • Definição de fatorial ( ).
  • A ideia de permutação quando a ordem importa.
  • O fato de que, pra tirar a ordem, dividimos pelas permutações internas ( ).

Passo 2

Primeiro pensa se a ordem importasse. Se eu falasse “seleciona e ordena” n times (n-1)timescdotstimesl(n-(r-1)r) ;=;n!(n-r)! itens de um total de , quantas sequências diferentes teria?
Pra o primeiro lugar eu tenho opções, pro segundo , até o -ésimo que tem .
Isso dá
Esse é o número de permutações de elementos tomados a , também chamado .

Passo 3

Mas a nossa escolha não liga pra ordem: cada grupo de P(n,r)r! ;=; n!(n-r)!r! ;=; n!(n-r)!,r! objetos apareceu vezes nessa conta (todas as ordens possíveis desses itens). Pra “descontar” essas repetições, a gente divide por .
Assim, o número de escolhas sem ordem (combinações) é

Resposta

binomnr ;=;n!(n-r)!,r!

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