(a) Justifique o fato de que o número de maneiras de se escolher
objetos de um conjunto com
objetos, sem considerar a ordem, ser dado por
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o enunciado está pedindo. A gente quer descobrir de quantas maneiras dá pra escolher
objetos dentre
, sem ligar para a ordem dessas escolhas. Isso é combinatória básica: contegens, combinações e fatoriais. Para resolver, vamos usar:
- Definição de fatorial (
). - A ideia de permutação quando a ordem importa.
- O fato de que, pra tirar a ordem, dividimos pelas permutações internas (
).
Passo 2
Primeiro pensa se a ordem importasse. Se eu falasse “seleciona e ordena”
itens de um total de
, quantas sequências diferentes teria?
Pra o primeiro lugar eu tenho opções, pro segundo
, até o
-ésimo que tem
.
Isso dá
Pra o primeiro lugar eu tenho
Isso dá
Esse é o número de permutações de
elementos tomados
a
, também chamado
.
Passo 3
Mas a nossa escolha não liga pra ordem: cada grupo de
objetos apareceu
vezes nessa conta (todas as ordens possíveis desses
itens). Pra “descontar” essas repetições, a gente divide por
.
Assim, o número de escolhas sem ordem (combinações) é
Assim, o número de escolhas sem ordem (combinações) é