1. Defina o que significa uma função ser contínua em um intervalo aberto (a, b) e em um intervalo fechado [a, b].

Passo 1

O enunciado pede duas coisas claras:
  • Definir o que significa uma função ser contínua em um intervalo aberto (a,b).
  • Definir o que significa uma função ser contínua em um intervalo fechado [a,b].
Informações relevantes que já temos do enunciado:
  • O intervalo aberto é (a,b) (os extremos a e b não pertencem ao domínio considerado).
  • O intervalo fechado é [a,b] (os extremos a e b pertencem ao domínio considerado).
  • A definição de continuidade envolve o comportamento da função em cada ponto do intervalo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa ser contínua num ponto — essa é a peça central da definição. Seja f uma função e x_0 um ponto do domínio de f. Intuitivamente, f é contínua em x_0 quando valores de x próximos de x_0 produzem valores f(x) próximos de f(x_0). Agora a forma formal (epsilon–delta):
\text{A função }f\text{ é contínua em }x_0\text{ se, para todo }\varepsilon>0,\text{ existe }\delta>0\text{ tal que, para todo }x,çãéí
|x-x_0|<\delta \quad\Longrightarrow\quad |f(x)-f(x_0)|<\varepsilon.
Explicando cada símbolo:
  • \varepsilon>0 é a tolerância na saída (quão perto queremos que f(x) esteja de f(x_0)).
  • \delta>0 é a tolerância na entrada (quão perto x deve estar de x_0 para garantir a tolerância na saída).
  • A implicação diz: se x está dentro da bola de raio \delta centrada em x_0, então f(x) está dentro da bola de raio \varepsilon centrada em f(x_0).
Uma forma equivalente, usando limites, é:
\lim_{x\to x_0} f(x) = f(x_0).
Aqui a definição do limite é: \lim_{x\to x_0} f(x) = L significa que, para todo \varepsilon>0, existe \delta>0 tal que se 0<|x-x_0|<\delta então |f(x)-L|<\varepsilon. Para continuidade, L tem de ser f(x_0).

Passo 3

Agora estendemos a definição ponto-a-ponto para intervalos. Primeiro o caso do intervalo aberto (a,b).
Definição prática (aberta): dizer que f é contínua em (a,b) significa simplesmente que f é contínua em cada ponto x_0\in (a,b). Ou seja:
\text{Para todo }x_0\in (a,b)\text{ e para todo }\varepsilon>0\text{ existe }\delta>0\text{ tal que }|x-x_0|<\delta\Rightarrow |f(x)-f(x_0)|<\varepsilon.
Comentário didático: como os extremos a e b não estão no domínio que estamos considerando, só precisamos verificar comportamento em pontos internos e aí usamos a definição usual de continuidade (tanto à esquerda quanto à direita do ponto).

Passo 4

Agora o caso do intervalo fechado [a,b]. O que muda? Nos extremos a e b só existem pontos do domínio de um lado (direito para a, esquerdo para b), logo a continuidade nesses pontos precisa ser verificada com limites de um só lado.
Formalmente, f é contínua em [a,b] se valem três coisas:
  1. Para todo x_0\in (a,b) vale a condição usual de continuidade (mesma que no passo anterior).
  2. Em a vale a continuidade à direita:
\lim_{x\to a^+} f(x) = f(a),
ou seja, para todo \varepsilon>0 existe \delta>0 tal que se 0<x-a<\delta então |f(x)-f(a)|<\varepsilon.
3. Em b vale a continuidade à esquerda:
\lim_{x\to b^-} f(x) = f(b),
ou seja, para todo \varepsilon>0 existe \delta>0 tal que se 0<b-x<\delta então |f(x)-f(b)|<\varepsilon.
Comentário didático: a diferença é que no interior usamos duas direções (x aproximando-se por ambos os lados), enquanto nos extremos só faz sentido aproximar-se por dentro do intervalo, daí os limites laterais.

Passo 5

Uma outra forma útil e muitas vezes prática de verificar continuidade é o critério sequencial. Ele é equivalente e às vezes mais simples de aplicar:
\text{A função }f\text{ é contínua em }x_0\text{ se e somente se, para toda sequência }(x_n)\text{ do domínio com }x_n\to x_0,çãéíêí
\text{temos }f(x_n)\to f(x_0).
No caso dos extremos de um intervalo fechado, as sequências consideradas devem aproximar a ou b por dentro do domínio (por exemplo, somente com x_n\ge a para aproximar a).

Passo 6

Exemplos rápidos para fixar a ideia:
  • f(x)=x^2 é contínua em todo \mathbb{R}. Isso significa que para qualquer x_0 podemos controlar |f(x)-f(x_0)| escolhendo \delta pequeno suficiente.
  • A função degrau de Heaviside H(x) definida por H(x)=0 para x<0 e H(x)=1 para x\ge 0 não é contínua em x_0=0 porque os limites lateral esquerdo e direito são diferentes.
  • A raiz quadrada f(x)=\sqrt{x} é contínua em [0,\infty). Repare que em 0 verificamos a continuidade usando limite pela direita.

Passo 7

Resumo prático para a prova (dica amiga): quando pedirem "mostre que f é contínua em [a,b]" faça três checagens:
  • interior: verifique a continuidade em um ponto genérico x_0\in(a,b) (uso do epsilon–delta ou propriedades de funções contínuas).
  • em a: verifique o limite à direita \lim_{x\to a^+} f(x)=f(a).
  • em b: verifique o limite à esquerda \lim_{x\to b^-} f(x)=f(b).
Força aí — dá pra fazer! Pequenos passos, controlar epsílon e escolher delta é a rotina.

Resposta

Uma função f é contínua em (a,b) se, para todo x_0\in (a,b), vale: para todo \varepsilon>0 existe \delta>0 tal que |x-x_0|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(x_0)|<\varepsilon.
Uma função f é contínua em [a,b] se:
  • para todo x_0\in (a,b) vale a condição acima;
  • e ainda \displaystyle \lim_{x\to a^+} f(x)=f(a) (continuidade à direita em a) e \displaystyle \lim_{x\to b^-} f(x)=f(b) (continuidade à esquerda em b).

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