- Defina o que significa uma função ser contínua em um intervalo aberto
e em um intervalo fechado
.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas claras:
- Definir o que significa uma função ser contínua em um intervalo aberto
. - Definir o que significa uma função ser contínua em um intervalo fechado
.
Informações relevantes que já temos do enunciado:
- O intervalo aberto é
(os extremos e não pertencem ao domínio considerado). - O intervalo fechado é
(os extremos e pertencem ao domínio considerado). - A definição de continuidade envolve o comportamento da função em cada ponto do intervalo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa ser contínua num ponto — essa é a peça central da definição. Seja
uma função e
um ponto do domínio de
. Intuitivamente,
é contínua em
quando valores de
próximos de
produzem valores
próximos de
. Agora a forma formal (epsilon–delta):
Explicando cada símbolo:
-
é a tolerância na saída (quão perto queremos que esteja de ). -
é a tolerância na entrada (quão perto deve estar de para garantir a tolerância na saída). - A implicação diz: se
está dentro da bola de raio centrada em , então está dentro da bola de raio centrada em .
Uma forma equivalente, usando limites, é:
Aqui a definição do limite é:
significa que, para todo
, existe
tal que se
então
. Para continuidade,
tem de ser
.
Passo 3
Agora estendemos a definição ponto-a-ponto para intervalos. Primeiro o caso do intervalo aberto
.
Definição prática (aberta): dizer que
é contínua em
significa simplesmente que
é contínua em cada ponto
. Ou seja:
Comentário didático: como os extremos
e
não estão no domínio que estamos considerando, só precisamos verificar comportamento em pontos internos e aí usamos a definição usual de continuidade (tanto à esquerda quanto à direita do ponto).
Passo 4
Agora o caso do intervalo fechado
. O que muda? Nos extremos
e
só existem pontos do domínio de um lado (direito para
, esquerdo para
), logo a continuidade nesses pontos precisa ser verificada com limites de um só lado.
Formalmente,
é contínua em
se valem três coisas:
- Para todo
vale a condição usual de continuidade (mesma que no passo anterior). - Em
vale a continuidade à direita:
ou seja, para todo
existe
tal que se
então
.
3. Em vale a continuidade à esquerda:
3. Em
ou seja, para todo
existe
tal que se
então
.
Comentário didático: a diferença é que no interior usamos duas direções (x aproximando-se por ambos os lados), enquanto nos extremos só faz sentido aproximar-se por dentro do intervalo, daí os limites laterais.
Passo 5
Uma outra forma útil e muitas vezes prática de verificar continuidade é o critério sequencial. Ele é equivalente e às vezes mais simples de aplicar:
No caso dos extremos de um intervalo fechado, as sequências consideradas devem aproximar
ou
por dentro do domínio (por exemplo, somente com
para aproximar
).
Passo 6
Exemplos rápidos para fixar a ideia:
-
é contínua em todo . Isso significa que para qualquer podemos controlar escolhendo pequeno suficiente. - A função degrau de Heaviside
definida por para e para não é contínua em porque os limites lateral esquerdo e direito são diferentes. - A raiz quadrada
é contínua em . Repare que em verificamos a continuidade usando limite pela direita.
Passo 7
Resumo prático para a prova (dica amiga): quando pedirem "mostre que
é contínua em
" faça três checagens:
- interior: verifique a continuidade em um ponto genérico
(uso do epsilon–delta ou propriedades de funções contínuas). - em
: verifique o limite à direita . - em
: verifique o limite à esquerda .
Força aí — dá pra fazer! Pequenos passos, controlar epsílon e escolher delta é a rotina.
Resposta
Uma função
é contínua em
se, para todo
, vale: para todo
existe
tal que
.
Uma função
é contínua em
se:
- para todo
vale a condição acima; - e ainda
(continuidade à direita em ) e (continuidade à esquerda em ).