Justifique geometricamente por que a adição de dois números complexos, como z_{1}=1+3 i e z_{2}=4+i, pode ser representada pela regra do paralelogramo no plano complexo.
Passo 1
O enunciado nos dá os dois números complexos
z_{1}=1+3i,\qquad z_{2}=4+i,
e pede para justificar geometricamente por que a adição de dois números complexos pode ser representada pela regra do paralelogramo no plano complexo.
Informações relevantes fornecidas:
Os valores de z_{1} e z_{2} (peguei estes números do enunciado): z_{1}=1+3i e z_{2}=4+i.
O que se pede: uma justificativa geométrica (ou seja, por que a soma corresponde ao diagonal de um paralelogramo construído a partir dos dois vetores no plano).
Passo 2
Interpretação geométrica básica (mapa entre números complexos e pontos/vetores): cada número complexo \,a+bi pode ser identificado com o ponto (a,b) no plano e também com o vetor (seta) que vai da origem O=(0,0) até esse ponto.
Explicando devagar: a parte real a é a coordenada horizontal e a parte imaginária b é a coordenada vertical. Assim, para nossos números:
Pensa neles como vetores \overrightarrow{OA} e \overrightarrow{OB} saindo da origem.
Passo 3
Como a soma funciona em coordenadas (a ideia chave): a soma de dois complexos é feita somando as partes reais e as partes imaginárias separadamente. Para z_{1} e z_{2} temos
z_{1}+z_{2}=(1+4)+(3+1)i=5+4i.
Em coordenadas isso corresponde ao ponto
(1,3)+(4,1)=(1+4,\,3+1)=(5,4).
Ou seja, numericamente a soma dá o ponto (5,4) — que é o mesmo que o vetor \overrightarrow{OC} onde C=(5,4).
Passo 4
Construção geométrica do paralelogramo (passo a passo visual): desenhe no plano os vetores \overrightarrow{OA} e \overrightarrow{OB} correspondentes a z_{1} e z_{2}. Agora faça o seguinte:
Desloque (translade) o vetor \overrightarrow{OB} mantendo sua direção e comprimento e coloque sua ponta sobre a ponta de \overrightarrow{OA}. A nova ponta de \overrightarrow{OB} estará em A+B=(1+4,3+1)=(5,4).
Alternativamente, desloque \overrightarrow{OA} e coloque sua ponta sobre a ponta de \overrightarrow{OB}; o resultado é o mesmo ponto final.
Esses dois vetores deslocados formam dois lados adjacentes de um paralelogramo com vértices em O, A, C e B (ou O,B,C,A dependendo da ordem). A diagonal do paralelogramo que sai da origem O vai até o vértice C=(5,4).
Passo 5
Por que a diagonal é exatamente a soma (argumento com coordenadas): o vértice C obtido ao completar o paralelogramo tem coordenadas (1+4,\,3+1) porque a construção geométrica desloca vetores somando suas componentes. Assim o vetor diagonal \overrightarrow{OC} tem coordenadas (1+4,\,3+1), ou seja representa o número complexo
(1+4)+(3+1)i=5+4i,
que é exatamente z_{1}+z_{2}. Portanto o ponto final da diagonal do paralelogramo coincide com o ponto correspondente à soma algébrica.
Passo 6
Generalização e observações úteis para a prova: para quaisquer complexos \,z_{1}=a+bi e \,z_{2}=c+di vale a mesma coisa:
z_{1}+z_{2}=(a+c)+(b+d)i,
que em coordenadas é
(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d).
Geometricamente, somar vetores (a,b) e (c,d) dá o vetor diagonal do paralelogramo construído com esses vetores como lados. Isso explica por que a regra do paralelogramo é exatamente a regra da adição de complexos. Como consequências rápidas: a adição é comutativa (trocar a ordem dá o mesmo paralelogramo/diagonal) e associativa (pode-se concatenar vetores em cadeia — regra do polígono).
Passo 7
Resumo prático olhando para os números dados (um jeito de memorizar): desenhe \overrightarrow{OA} até (1,3), desenhe \overrightarrow{OB} até (4,1). Ao completar o paralelogramo o diagonal chega até (5,4). Isso corresponde exatamente à soma z_{1}+z_{2}=5+4i. Vai dar certo na prova: faça primeiro a soma das coordenadas, depois desenhe os vetores ou faça a construção do paralelogramo se for pedido uma justificativa geométrica.