Justifique a igualdade
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma igualdade envolvendo coeficientes binomiais:
Essa questão está dentro do tema coeficientes binomiais e identidades combinatórias. Para resolver, vamos precisar entender o que são esses coeficientes e como eles se relacionam entre si.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um coeficiente binomial. Ele é representado por:
Isso significa “n escolhe k”, ou seja, o número de maneiras de escolher k elementos de um conjunto com n elementos.
Passo 3
Agora, vamos analisar o lado esquerdo da igualdade:
Isso representa o número de maneiras de escolher (k+2) elementos de um conjunto com (n+2) elementos.
Passo 4
Vamos expandir
usando a fórmula do coeficiente binomial:
Passo 5
Agora, vamos expandir o lado direito da igualdade:
Vamos calcular cada termo separadamente.
Passo 6
Primeiro termo:
Segundo termo:
Terceiro termo:
Passo 7
Vamos somar os três termos:
Para somar essas frações, precisamos ter denominadores iguais ou encontrar um denominador comum.
Passo 8
Observando os denominadores, podemos identificar que o termo
pode ser reescrito como:
E similarmente para os demais termos, mas isso pode ficar complicado. Um jeito mais fácil é perceber que estamos basicamente expandindo
com esses termos combinatórios.
Passo 9
Na verdade, há uma identidade conhecida nos coeficientes binomiais que diz:
Essa identidade pode ser comprovada combinatoriamente, pensando em adicionar dois elementos extras ao conjunto original e contar as formas de escolher (k+2) elementos considerando essas adições.
Passo 10
Portanto, verificamos que ambos os lados da igualdade representam o mesmo valor, justificando a igualdade proposta.
Resposta
A igualdade é justificada porque ao expandir
conseguimos expressá-la como
, validando a igualdade apresentada.