Utilizando o “Método da Variação de Parâmetros”, encontre a solução particular e a solução geral dos problemas abaixo.
y^{\prime \prime}+y=(\operatorname{sec} (x))^{3};

Passo 1

O enunciado pede para, usando o “Método da Variação de Parâmetros”, encontrar a solução particular e a solução geral da equação diferencial
y''+y=(\operatorname{sec} x)^{3}.
Informações fornecidas:
\text{Equação: } y''+y=\operatorname{sec}^{3}x.çã
Não há condições iniciais; portanto queremos (1) uma solução particular y_{p}(x) qualquer e (2) a solução geral y(x) que contém constantes arbitrárias.

Passo 2

Primeiro encontramos as soluções da equação homogênea associada:
y''+y=0.
A equação característica é \lambda^{2}+1=0, com raízes \lambda=\pm i. Logo as soluções fundamentais reais são
y_{1}(x)=\cos x,\qquad y_{2}(x)=\sin x.
Explicação curta: para uma equação linear homogênea com coeficientes constantes, procuramos soluções da forma e^{\lambda x}; as raízes imaginárias levam a combinações de \cos e \sin.

Passo 3

Agora aplicamos o Método da Variação de Parâmetros. A ideia é procurar uma solução particular na forma
y_{p}(x)=u_{1}(x)y_{1}(x)+u_{2}(x)y_{2}(x),
onde u_{1} e u_{2} são funções a determinar. Impomos a condição auxiliar usual
u_{1}'(x)y_{1}(x)+u_{2}'(x)y_{2}(x)=0
para simplificar as contas, e então as derivadas satisfazem
u_{1}'(x)y_{1}'(x)+u_{2}'(x)y_{2}'(x)=\operatorname{sec}^{3}x.
Definimos o wronskiano
W(x)=\begin{vmatrix} y_{1} & y_{2} \\\ y_{1}' & y_{2}' \end{vmatrix}.
Para y_{1}=\cos x e y_{2}=\sin x temos
W(x)=\cos x\cdot\cos x - (-\sin x)\cdot\sin x=\cos^{2}x+\sin^{2}x=1.
Com W=1 as fórmulas padrão ficam simples:
u_{1}'(x) = -\operatorname{sec}^{3}x\;y_{2}(x),\qquad u_{2}'(x)=\operatorname{sec}^{3}x\;y_{1}(x).
(Isto vem do sistema linear para u_1' e u_2'; escrevi a forma já simplificada.)

Passo 4

Substituindo y_{1}=\cos x e y_{2}=\sin x obtemos:
u_{1}'(x) = -\operatorname{sec}^{3}x\sin x = -\frac{\sin x}{\cos^{3}x},
u_{2}'(x) = \operatorname{sec}^{3}x\cos x = \frac{\cos x}{\cos^{3}x}=\frac{1}{\cos^{2}x}=\operatorname{sec}^{2}x.
Agora integramos para obter u_{1} e u_{2}.

Passo 5

Cálculo de u_{1}(x):
u_{1}(x)=\int u_{1}'(x)\,dx=\int -\frac{\sin x}{\cos^{3}x}\,dx.
Fazemos a substituição t=\cos x. Então dt=-\sin x\,dx. A integral torna-se
\int -\frac{\sin x}{\cos^{3}x}\,dx=\int \frac{dt}{t^{3}}=\int t^{-3}\,dt.
Integrando:
\int t^{-3}\,dt = \frac{t^{-2}}{-2} + C = -\frac{1}{2t^{2}}+C.
Voltando a x:
u_{1}(x) = -\frac{1}{2\cos^{2}x}+C_{1} = -\frac{1}{2}\operatorname{sec}^{2}x + C_{1}.
Cálculo de u_{2}(x):
u_{2}(x)=\int u_{2}'(x)\,dx=\int \operatorname{sec}^{2}x\,dx=\tan x + C_{2}.
Observação importante para obter uma solução particular específica: podemos tomar as constantes de integração C_{1}=C_{2}=0 (qualquer escolha dá uma solução particular diferente que difere por uma solução homogênea). Para simplicidade escolhemos C_{1}=C_{2}=0.

Passo 6

Com u_{1}(x)=-\tfrac{1}{2}\operatorname{sec}^{2}x e u_{2}(x)=\tan x, montamos
y_{p}(x)=u_{1}y_{1}+u_{2}y_{2} = \Big(-\tfrac{1}{2}\operatorname{sec}^{2}x\Big)\cos x + (\tan x)\sin x.
Simplificando termo a termo:
\Big(-\tfrac{1}{2}\operatorname{sec}^{2}x\Big)\cos x = -\tfrac{1}{2}\operatorname{sec} x,
(\tan x)\sin x = \frac{\sin^{2}x}{\cos x} = \frac{1-\cos^{2}x}{\cos x} = \operatorname{sec} x - \cos x.
Somando:
y_{p}(x) = -\tfrac{1}{2}\operatorname{sec} x + (\operatorname{sec} x - \cos x) = \tfrac{1}{2}\operatorname{sec} x - \cos x.
Repare que o termo -\cos x é uma solução da homogênea; como qualquer solução particular pode ser alterada somando-se uma combinação homogênea, podemos escolher a constante de integração de modo a eliminar esse termo homogêneo. Assim, uma escolha conveniente de solução particular é
y_{p}(x)=\tfrac{1}{2}\operatorname{sec} x.
(Podemos verificar rapidamente colocando y_{p}=\tfrac{1}{2}\operatorname{sec} x na equação e ver que y_{p}''+y_{p}=\operatorname{sec}^{3}x.)

Passo 7

A solução geral é a soma da solução homogênea com uma solução particular. Tomando y_{h}=C_{1}\cos x + C_{2}\sin x e y_{p}=\tfrac{1}{2}\operatorname{sec} x, obtemos
y(x)=C_{1}\cos x + C_{2}\sin x + \tfrac{1}{2}\operatorname{sec} x,
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias reais. Isto resolve o problema.

Resposta

y_{p}(x)=\dfrac{1}{2}\operatorname{sec} x\n y(x)=C_{1}\cos x + C_{2}\sin x + \dfrac{1}{2}\operatorname{sec} x

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