Justifique a inexistência dos seguintes limites:
Passo 1
O enunciado pede que a gente justifique a inexistência do limite
Não há outras informações dadas além da função
e do comportamento pedido quando
tende para
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa dizer que
. Por definição: dizemos que
se, e somente se, para todo
existe
tal que, para todo
,
Explicando cada coisa com calma:
é a nossa margem de erro (pense como “quão perto” queremos estar de
),
é um ponto real além do qual todos os valores de
têm que ficar dentro dessa margem
de
. Se existir um
que satisfaça isso para todo
, dizemos que o limite existe e é igual a
.
Passo 3
Um fato muito útil (e simples) é: se
existe, então para qualquer sequência
com
temos
. Ou seja, todas as sequências que vão para
levam os valores
para o mesmo
. Portanto, para provar que o limite não existe basta encontrar duas sequências
e
tais que
e
tenham limites diferentes — aí chega-se a contradição com o fato acima.
Passo 4
Vamos construir essas duas sequências aproveitando a periodicidade do cosseno. Sabemos que
e que
e
.
Defina
para
. Essas sequências tendem para
porque
quando
.
Agora calculemos os valores de
nessas sequências:
pois
é
-periódica e
.
Portanto temos duas sequências que vão para
cujos imagens pela função
tendem a dois limites distintos:
e
.
Passo 5
Pelo argumento do Passo 3, se
existisse e fosse igual a algum
, então tanto
quanto
teriam de convergir para o mesmo
. Mas vimos que
e
. Logo teríamos
e
ao mesmo tempo, o que é impossível. Assim há uma contradição; portanto o limite não existe.
(O mesmo raciocínio pode ser apresentado em forma de
-argumento: escolha
. Se existisse
tal que para todo
tivéssemos
, então para
grande ambos
e
estariam além de
, implicando
e
, o que é impossível porque essas duas desigualdades simultâneas não têm solução para
.)