Justifique a inexistência dos seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow+\infty} \cos (x)

Passo 1

O enunciado pede que a gente justifique a inexistência do limite
\lim_{x\to +\infty}\cos(x).
Não há outras informações dadas além da função x\mapsto\cos(x) e do comportamento pedido quando x tende para +\infty.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa dizer que \lim_{x\to +\infty}f(x)=L. Por definição: dizemos que
\lim_{x\to +\infty}f(x)=L
se, e somente se, para todo \varepsilon>0 existe M\in\mathbb{R} tal que, para todo x>M,
|f(x)-L|<\varepsilon.
Explicando cada coisa com calma: \varepsilon é a nossa margem de erro (pense como “quão perto” queremos estar de L), M é um ponto real além do qual todos os valores de f(x) têm que ficar dentro dessa margem \varepsilon de L. Se existir um L que satisfaça isso para todo \varepsilon>0, dizemos que o limite existe e é igual a L.

Passo 3

Um fato muito útil (e simples) é: se \lim_{x\to +\infty}f(x)=L existe, então para qualquer sequência (x_n) com x_n\to+\infty temos f(x_n)\to L. Ou seja, todas as sequências que vão para +\infty levam os valores f(x_n) para o mesmo L. Portanto, para provar que o limite não existe basta encontrar duas sequências x_n\to+\infty e y_n\to+\infty tais que f(x_n) e f(y_n) tenham limites diferentes — aí chega-se a contradição com o fato acima.

Passo 4

Vamos construir essas duas sequências aproveitando a periodicidade do cosseno. Sabemos que
\cos(t+2\pi)=\cos(t)\quad\text{para todo }t,
e que \cos(0)=1 e \cos(\pi)=-1.
Defina
x_n = 2\pi n \quad\text{e}\quad y_n = \pi + 2\pi n,
para n\in\mathbb{N}. Essas sequências tendem para +\infty porque 2\pi n\to+\infty quando n\to\infty.
Agora calculemos os valores de \cos nessas sequências:
\cos(x_n)=\cos(2\pi n)=1\quad\text{para todo }n,
pois \cos é 2\pi-periódica e \cos(0)=1.
\cos(y_n)=\cos(\pi+2\pi n)=\cos(\pi)=-1\quad\text{para todo }n.
Portanto temos duas sequências que vão para +\infty cujos imagens pela função \cos tendem a dois limites distintos: \cos(x_n)\to 1 e \cos(y_n)\to -1.

Passo 5

Pelo argumento do Passo 3, se \lim_{x\to +\infty}\cos(x) existisse e fosse igual a algum L, então tanto \cos(x_n) quanto \cos(y_n) teriam de convergir para o mesmo L. Mas vimos que \cos(x_n)\to 1 e \cos(y_n)\to -1. Logo teríamos L=1 e L=-1 ao mesmo tempo, o que é impossível. Assim há uma contradição; portanto o limite não existe.
(O mesmo raciocínio pode ser apresentado em forma de \varepsilon-argumento: escolha \varepsilon=\tfrac{1}{2}. Se existisse M tal que para todo x>M tivéssemos |\cos(x)-L|<\tfrac{1}{2}, então para n grande ambos x_n e y_n estariam além de M, implicando |1-L|<\tfrac{1}{2} e |-1-L|<\tfrac{1}{2}, o que é impossível porque essas duas desigualdades simultâneas não têm solução para L.)

Resposta

\lim_{x\to +\infty}\cos(x) não existe.

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