Resolva as EDOs abaixo. y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+y=e^{x} \operatorname{arctg} x;
Passo 1
O enunciado pede para resolver a EDO de segunda ordem
y''-2y'+y = e^{x}\operatorname{arctg}x.
Informações dadas:
É uma equação linear não homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes.
O termo do lado direito é e^{x}\operatorname{arctg}x.
Queremos a solução geral y(x), isto é, a soma da solução geral da homogênea e de uma solução particular.
Passo 2
Primeiro achamos a solução da equação homogênea associada:
y''-2y'+y=0.
Formamos a equação característica: \;r^{2}-2r+1=0.
Esta é uma quadrática que fatoriza como (r-1)^{2}=0, logo tem raiz dupla r=1 com multiplicidade 2.
Para raiz dupla r=1, a solução geral da homogênea é
y_{h}(x) = \big(C_{1}+C_{2}x\big)e^{x},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias.
Passo 3
Agora precisamos de uma solução particular y_{p}(x) da equação completa.
Motivo da escolha do método: o termo não homogêneo é e^{x}\operatorname{arctg}x. O método dos coeficientes a determinar (método dos palpites) não é prático aqui porque \operatorname{arctg}x não é uma combinação de polinômios, exponenciais ou senos/cossenos simples; por isso usamos o método de variação de parâmetros, que é sistemático e funciona para essa situação.
Calculamos I_{1}=\int \operatorname{arctg}x\,dx por partes.
Escolhemos u=\operatorname{arctg}x e dv=dx. Então du=\dfrac{1}{1+x^{2}}dx e v=x.
Aplicando integração por partes:
I_{1}=x\operatorname{arctg}x - \frac{1}{2}\ln(1+x^{2}) + C.
Passo 7
Agora I_{2}=\int x\,\operatorname{arctg}x\,dx. Também por partes escolhemos u=\operatorname{arctg}x e dv=x\,dx. Então du=\dfrac{1}{1+x^{2}}dx e v=\dfrac{x^{2}}{2}.
Aplicando partes: