Resolva as EDOs abaixo.
y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+y=e^{x} \operatorname{arctg} x;

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO de segunda ordem
y''-2y'+y = e^{x}\operatorname{arctg}x.
Informações dadas:
  • É uma equação linear não homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes.
  • O termo do lado direito é e^{x}\operatorname{arctg}x.
  • Queremos a solução geral y(x), isto é, a soma da solução geral da homogênea e de uma solução particular.

Passo 2

Primeiro achamos a solução da equação homogênea associada:
y''-2y'+y=0.
Formamos a equação característica: \;r^{2}-2r+1=0.
Esta é uma quadrática que fatoriza como (r-1)^{2}=0, logo tem raiz dupla r=1 com multiplicidade 2.
Para raiz dupla r=1, a solução geral da homogênea é
y_{h}(x) = \big(C_{1}+C_{2}x\big)e^{x},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias.

Passo 3

Agora precisamos de uma solução particular y_{p}(x) da equação completa.
Motivo da escolha do método: o termo não homogêneo é e^{x}\operatorname{arctg}x. O método dos coeficientes a determinar (método dos palpites) não é prático aqui porque \operatorname{arctg}x não é uma combinação de polinômios, exponenciais ou senos/cossenos simples; por isso usamos o método de variação de parâmetros, que é sistemático e funciona para essa situação.

Passo 4

Escolhemos uma base de soluções da homogênea:
y_{1}(x)=e^{x},\qquad y_{2}(x)=x e^{x}.
Calculamos o Wronskiano W de y_{1} e y_{2}:
W(x)=\begin{vmatrix} y_{1} & y_{2} \\\ y_{1}' & y_{2}' \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} e^{x} & x e^{x} \\\ e^{x} & e^{x}+x e^{x} \end{vmatrix} = e^{x}\big(e^{x}+x e^{x}\big)-x e^{x}\cdot e^{x}=e^{2x}.
Portanto W(x)=e^{2x}\neq 0, ótimo — podemos aplicar variação de parâmetros.

Passo 5

Fórmula prática da variação de parâmetros para a equação y''-2y'+y=f(x) com y_{1},y_{2} é
y_{p}=-y_{1}\int \frac{y_{2}f}{W}\,dx + y_{2}\int \frac{y_{1}f}{W}\,dx.
Aqui f(x)=e^{x}\operatorname{arctg}x. Calculamos as frações dentro das integrais:
\frac{y_{2}f}{W}=\frac{x e^{x}\cdot e^{x}\operatorname{arctg}x}{e^{2x}}=x\operatorname{arctg}x,
\frac{y_{1}f}{W}=\frac{e^{x}\cdot e^{x}\operatorname{arctg}x}{e^{2x}}=\operatorname{arctg}x.
Logo precisamos calcular duas integrais:
I_{1}=\int \operatorname{arctg}x\,dx,\qquad I_{2}=\int x\,\operatorname{arctg}x\,dx.

Passo 6

Calculamos I_{1}=\int \operatorname{arctg}x\,dx por partes.
Escolhemos u=\operatorname{arctg}x e dv=dx. Então du=\dfrac{1}{1+x^{2}}dx e v=x.
Aplicando integração por partes:
I_{1}=x\operatorname{arctg}x - \int x\cdot\frac{1}{1+x^{2}}\,dx.
Para a integral \int \dfrac{x}{1+x^{2}}dx fazemos a substituição t=1+x^{2}\Rightarrow dt=2x\,dx, logo
\int \frac{x}{1+x^{2}}dx = \frac{1}{2}\ln(1+x^{2}).
Portanto
I_{1}=x\operatorname{arctg}x - \frac{1}{2}\ln(1+x^{2}) + C.

Passo 7

Agora I_{2}=\int x\,\operatorname{arctg}x\,dx. Também por partes escolhemos u=\operatorname{arctg}x e dv=x\,dx. Então du=\dfrac{1}{1+x^{2}}dx e v=\dfrac{x^{2}}{2}.
Aplicando partes:
I_{2}=\frac{x^{2}}{2}\operatorname{arctg}x - \int \frac{x^{2}}{2}\cdot\frac{1}{1+x^{2}}\,dx.
Simplificamos a integral:
\frac{x^{2}}{1+x^{2}} = 1 - \frac{1}{1+x^{2}},
logo
\int \frac{x^{2}}{1+x^{2}}dx = \int \left(1 - \frac{1}{1+x^{2}}\right)dx = x - \operatorname{arctg}x.
Substituindo de volta:
I_{2}=\frac{x^{2}}{2}\operatorname{arctg}x - \frac{1}{2}\big(x - \operatorname{arctg}x\big) + C.
Organizando termos:
I_{2}=\frac{x^{2}+1}{2}\operatorname{arctg}x - \frac{x}{2} + C.

Passo 8

Agora montamos y_{p} usando as integrais (podemos omitir constantes de integração nas integrais particulares porque elas seriam absorvidas em y_{h}):
y_{p} = -y_{1}I_{2} + y_{2}I_{1}.
Substituindo y_{1}=e^{x}, y_{2}=x e^{x}, e as expressões de I_{1},I_{2} sem constantes:
y_{p} = -e^{x}\Big(\frac{x^{2}+1}{2}\operatorname{arctg}x - \frac{x}{2}\Big) + x e^{x}\Big(x\operatorname{arctg}x - \frac{1}{2}\ln(1+x^{2})\Big).
Fatoramos e^{x} e simplificamos termo a termo. Primeiro expandimos:
y_{p}=e^{x}\Big[-\frac{x^{2}+1}{2}\operatorname{arctg}x + \frac{x}{2} + x^{2}\operatorname{arctg}x - \frac{x}{2}\ln(1+x^{2})\Big].
Combinando os termos com \operatorname{arctg}x:
-\frac{x^{2}+1}{2}\operatorname{arctg}x + x^{2}\operatorname{arctg}x = \frac{2x^{2}-(x^{2}+1)}{2}\operatorname{arctg}x = \frac{x^{2}-1}{2}\operatorname{arctg}x.
Logo
y_{p}=e^{x}\Big(\frac{x^{2}-1}{2}\operatorname{arctg}x + \frac{x}{2} - \frac{x}{2}\ln(1+x^{2})\Big).

Passo 9

A solução geral da EDO é a soma da homogênea com a particular:
y(x)=y_{h}(x)+y_{p}(x).
Substituindo:
y(x) = \big(C_{1}+C_{2}x\big)e^{x} + e^{x}\Big(\frac{x^{2}-1}{2}\operatorname{arctg}x + \frac{x}{2} - \frac{x}{2}\ln(1+x^{2})\Big).
Podemos factorar e^{x} se quisermos uma forma compacta.

Resposta

y(x)=e^{x}\Big(C_{1}+C_{2}x+\frac{x^{2}-1}{2}\operatorname{arctg}x+\frac{x}{2}-\frac{x}{2}\ln(1+x^{2})\Big)

Exercícios relacionados