Encontre a transformada inversa da função F(s) abaixo:
4 s+12s^2+8 s+16

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar a transformada inversa da função . Isso é matéria de transformadas de Laplace, especificamente a parte que envolve funções racionais. Para resolver isso, vamos precisar simplificar a expressão e aplicar algumas propriedades das transformadas de Laplace.

Passo 2

Primeiro passo é dar uma olhada no denominador da fração: s^2 + 8s + 16 = (s + 4)^2 . Podemos tentar fatorar isso para deixar a expressão mais simples. Notamos que:
F(s) = 4s + 12(s + 4)^2
Então, nossa função fica:

Passo 3

Agora, vamos manipular o numerador 4s + 12 = 4(s + 3) para facilitar a aplicação da transformada inversa. Podemos fatorar 4:
F(s) = 4(s + 3)(s + 4)^2 = 4 cdot s + 3(s + 4)^2
Assim, a função fica:

Passo 4

Vamos separar o termo s + 3(s + 4)^2 = s + 4 -1(s + 4)^2 = s + 4(s + 4)^2 - 1(s + 4)^2 de forma que possamos associar com transformadas conhecidas. Observe que:
F(s) = 4 ( 1s + 4 - 1(s + 4)^2 )
Então, nossa função fica:

Passo 5

Agora, vamos aplicar as transformadas inversas conhecidas:
L^-1 ( 1s + a ) = e^-a t
L^-1 ( 1(s + a)^2 ) = t e^-a t
No nosso caso, L^-1 ( 1s + 4 ) = e^-4t , então:
L^-1 ( 1(s + 4)^2 ) = t e^-4t

Passo 6

Finalmente, substituímos essas transformadas na expressão que tínhamos:
f(t) = 4 ( e^-4t - t e^-4t ) = 4 e^-4t (1 - t)

Resposta

A transformada inversa de é .

Exercícios relacionados