Determine a solução contínua do PVI
y^prime(x)+2 y(x) & =f(x), y(0) & =0,
onde a função f(x) é dada por
f(x)=rll 0, & se & x<1 e^-x, & se & 1 <= x <= 2 0, & se & x>2
R.: y(x)=rll0, & se & x<1 e^-x-e^1-2 x, & se & 1 <= x <= 2 e^2-2 x-e^1-2 x, & se & x>2

Passo 1

A gente tem um problema de valor inicial para uma equação diferencial linear de primeira ordem: y'(x)+2y(x)=f(x) com y(0)=0 e f(x) definida em partes (0 para x<1, e^-x para 1<= x<=2, 0 para x>2). O conteúdo é o método do fator integrante.

Passo 2

Como a equação é linear, calculamos o fator integrante mu(x)=e^integral2,dx=e^2x. Multiplicando por mu(x) obtemos
ddxl(e^2xy(x)r)=f(x)cdot e^2x
Integrando de 0 até x e usando y(0)=0, vem
e^2xy(x)=integral0^xf(t)cdot e^2t,dtLongrightarrow y(x)=e^-2xintegral0^xf(t)cdot e^2t,dt

Passo 3

Para x<1, como f(t)=0 para todo tin[0,x], a integral é zero e, portanto,
y(x)=0

Passo 4

Para 1<= x<=2, temos f(t)=e^-t, então f(t)cdot e^2t=e^t. Logo
integral0^xf(t)cdot e^2t,dt=integral1^xe^t,dt=e^x-e
Daí
y(x)=e^-2x(e^x-e)=e^-x-e^1-2x

Passo 5

Para x>2, f(t)=0 fora de [1,2], então a integral fixa em
integral0^xf(t)cdot e^2t,dt=integral1^2e^t,dt=e^2-e
Assim
y(x)=e^-2x(e^2-e)=e^2-2x-e^1-2x

Resposta

y(x)= 0,&x<1, e^-x-e^1-2x,&1<= x<=2, e^2-2x-e^1-2x,&x>2

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