Justifique que:
Lsenh(a t) cos (a t)=a(s^2-2 a^2)s^4+4 a^4
A partir destas, mostre que
L^-11s^4+4 a^4=14 a^3[cosh (a t) sen(a t)-senh(a t) cos (a t)]
Sugestão: Para mostrar (a), (b) e ©, utilize que
cosh (a t)=e^a t+e^-a t2 e senh(a t)=e^a t-e^-a t2

Passo 1

Neste exercício vamos justificar a fórmula de Lsinh(at)cos(at) e depois usar esse resultado, junto com Lcosh(at)sin(at), para obter L^-11/(s^4+4a^4). O conteúdo principal é transformada de Laplace de produtos envolvendo funções hiperbólicas e trigonométricas, e vamos precisar usar as definições
cosh(at)=e^at+e^-at2,sinh(at)=e^at-e^-at2,
enquanto lembramos que
Le^ctcos(bt)=s-c(s-c)^2+b^2,Le^ctsin(bt)=b(s-c)^2+b^2

Passo 2

Escrevemos primeiro
sinh(at)cos(at)=12l(e^atcos(at)-e^-atcos(at)r)
e aplicamos a transformada de Laplace:
Lsinh(at)cos(at) =12l[s-a(s-a)^2+a^2-s+a(s+a)^2+a^2r]
Agora note que
(s-a)^2+a^2=s^2-2as+2a^2,
(s+a)^2+a^2=s^2+2as+2a^2,
cujo produto é s^4+4a^4. Calculando o numerador:
tfrac12l[(s-a)(s^2+2as+2a^2)-(s+a)(s^2-2as+2a^2)r] =,a(s^2-2a^2)
Logo fica
Lsinh(at)cos(at)=a,(s^2-2a^2)s^4+4a^4

Passo 3

De modo análogo, escrevemos
cosh(at)sin(at)=12l(e^atsin(at)+e^-atsin(at)r)
e aplicamos a transformada:
Lcosh(at)sin(at) =12l[a(s-a)^2+a^2+a(s+a)^2+a^2r] =a,(s^2+2a^2)s^4+4a^4

Passo 4

Para inverter 1/(s^4+4a^4), observamos que podemos escrevê-la como combinação linear:
1s^4+4a^4 =alphaa(s^2+2a^2)s^4+4a^4+betaa(s^2-2a^2)s^4+4a^4
Isso equivale a impor
alpha(s^2+2a^2)+beta(s^2-2a^2)=1a
Igualando coeficientes de s^2 e termo constante, vem
alpha+beta=0, 2a^2(alpha-beta)=1a
cuja solução é
$$\alpha=\frac1{4a3},\quad\beta=-\frac1{4a3}.
$$

Passo 5

Aplicando a linearidade da transformada inversa e usando que
L^-1a(s^2+2a^2)/(s^4+4a^4)=cosh(at)sin(at), L^-1a(s^2-2a^2)/(s^4+4a^4)=sinh(at)cos(at),
obtemos
L^-1tfrac1s^4+4a^4 =14a^3l[cosh(at)sin(at)-sinh(at)cos(at)r]

Resposta

L^-1tfrac1s^4+4a^4=14a^3l[cosh(at)sin(at)-sinh(at)cos(at)r].

Exercícios relacionados