Justifique que:
A partir destas, mostre que
Sugestão: Para mostrar (a), (b) e ©, utilize que
A partir destas, mostre que
Passo 1
Neste exercício vamos justificar a fórmula de
e depois usar esse resultado, junto com
, para obter
. O conteúdo principal é transformada de Laplace de produtos envolvendo funções hiperbólicas e trigonométricas, e vamos precisar usar as definições
enquanto lembramos que
Passo 2
Escrevemos primeiro
e aplicamos a transformada de Laplace:
Agora note que
cujo produto é
. Calculando o numerador:
Logo fica
Passo 3
De modo análogo, escrevemos
e aplicamos a transformada:
Passo 4
Para inverter
, observamos que podemos escrevê-la como combinação linear:
Isso equivale a impor
Igualando coeficientes de
e termo constante, vem
cuja solução é
$$\alpha=\frac1{4a3},\quad\beta=-\frac1{4a3}.
$$
Passo 5
Aplicando a linearidade da transformada inversa e usando que
obtemos