Usando a transformada da integral, calcule f(t), sabendo que L(f) é igual a:
5s^3-5 s

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a função usando a transformada da integral, especificamente a transformada de Laplace. A gente sabe que . Para resolver isso, vamos precisar entender como usar frações parciais, fatorar polinômios e aplicar a transformada inversa de Laplace para encontrar .

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na expressão da transformada de Laplace que temos: . Para facilitar a resolução, vamos começar fatorando o denominador.

Passo 3

O denominador é um polinômio de terceiro grau: s^3 - 5s = s(s^2 - 5) . Podemos fatorar esse polinômio extraindo um fator comum:
5s(s^2 - 5)
Então, a expressão fica:

Passo 4

Agora, vamos decompor essa fração em frações parciais. Isso significa que queremos escrever:
5s(s^2 - 5) = As + Bs + Cs^2 - 5
Aqui, , e são constantes que precisamos determinar.

Passo 5

Para encontrar os valores de 5 = A(s^2 - 5) + (Bs + C)s , 5 = A s^2 - 5A + Bs^2 + Cs e 5 = (A + B)s^2 + Cs - 5A , multiplicamos ambos os lados da equação por A + B = 0 C = 0 -5A = 5 :
Simplificando:
Agora, agrupamos os termos semelhantes:
Para que essa igualdade seja verdadeira para todo valor de , os coeficientes correspondentes devem ser iguais. Então, temos o seguinte sistema de equações:
Resolvendo:
  • Da terceira equação:
  • Da primeira equação:
  • Da segunda equação:
Então, , e .

Passo 6

Substituindo os valores de 5s(s^2 - 5) = -1s + 1 cdot s + 0s^2 - 5 = -1s + ss^2 - 5 , L^-1( 1s ) = 1 e L^-1( ss^2 - a^2 ) = cosh(a t) na decomposição das frações parciais, temos:
L^-1( ss^2 - 5 ) = cosh(raiz5, t)
Agora, vamos aplicar a transformada inversa de Laplace em cada termo separado.
Sabemos que:
E para o segundo termo, podemos reconhecer que:
No nosso caso, .
Então:

Resposta

Juntando tudo, a função f(t) = -1 + cosh(raiz5, t) é dada por:

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