Usando a transformada da integral, calcule , sabendo que é igual a:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a função usando a transformada da integral, especificamente a transformada de Laplace. A gente sabe que . Para resolver isso, vamos precisar entender como usar frações parciais, fatorar polinômios e aplicar a transformada inversa de Laplace para encontrar .
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada na expressão da transformada de Laplace que temos: . Para facilitar a resolução, vamos começar fatorando o denominador.
Passo 3
O denominador é um polinômio de terceiro grau: . Podemos fatorar esse polinômio extraindo um fator comum:
Então, a expressão fica:
Passo 4
Agora, vamos decompor essa fração em frações parciais. Isso significa que queremos escrever:
Aqui, , e são constantes que precisamos determinar.
Passo 5
Para encontrar os valores de , e , multiplicamos ambos os lados da equação por :
Simplificando:
Agora, agrupamos os termos semelhantes:
Para que essa igualdade seja verdadeira para todo valor de , os coeficientes correspondentes devem ser iguais. Então, temos o seguinte sistema de equações:
Resolvendo:
Da terceira equação:
Da primeira equação:
Da segunda equação:
Então, , e .
Passo 6
Substituindo os valores de 5s(s^2 - 5) = -1s + 1 cdot s + 0s^2 - 5 = -1s + ss^2 - 5 , L^-1( 1s ) = 1 e L^-1( ss^2 - a^2 ) = cosh(a t) na decomposição das frações parciais, temos:
L^-1( ss^2 - 5 ) = cosh(raiz5, t)
Agora, vamos aplicar a transformada inversa de Laplace em cada termo separado.
Sabemos que:
E para o segundo termo, podemos reconhecer que:
No nosso caso, .
Então:
Resposta
Juntando tudo, a função f(t) = -1 + cosh(raiz5, t) é dada por: