Justifique que:
Lsenh(a t) sen(a t)=2 a^2 ss^4+4 a^4
A partir destas, mostre que
L^-11s^4+4 a^4=14 a^3[cosh (a t) sen(a t)-senh(a t) cos (a t)]
Sugestão: Para mostrar (a), (b) e ©, utilize que
cosh (a t)=e^a t+e^-a t2 e senh(a t)=e^a t-e^-a t2

Passo 1

Nesse exercício a gente vai usar transformadas de Laplace de funções formadas por produtos de habilidades hiperbólicas e trigonométricas. O conteúdo principal é a definição de senh e cosh em termos de exponenciais e a aplicação direta da transformada de Laplace em cada termo exponencial.

Passo 2

Primeiro, vamos justificar que Lsinh(a t),sin(a t)=2a^2 ss^4+4a^4. Usando
sinh(a t)=e^a t-e^-a t2, sin(a t)=e^i a t-e^-i a t2i,
temos
sinh(a t)sin(a t)=14il(e^(a+i a)t-e^(a-i a)t-e^(-a+i a)t+e^(-a-i a)tr)

Passo 3

Aplicando L termo a termo e simplificando as diferenças de frações, chega-se a
Lsinh(a t)sin(a t)=a2l(1(s-a)^2+a^2-1(s+a)^2+a^2r)=2a^2 ss^4+4a^4

Passo 4

Agora, para obter L^-11/(s^4+4a^4), calculamos também as transformadas
Lcosh(a t)sin(a t)=as^2+2a^2s^4+4a^4,Lsinh(a t)cos(a t)=as^2-2a^2s^4+4a^4

Passo 5

Repare que
1s^4+4a^4=14a^2l(s^2+2a^2s^4+4a^4-s^2-2a^2s^4+4a^4r)=14a^3l(Lcosh(a t)sin(a t)-Lsinh(a t)cos(a t)r)

Passo 6

Portanto, pela linearidade da transformada inversa,
L^-1l1s^4+4a^4r=14a^3[cosh(a t),sin(a t)-sinh(a t),cos(a t)]

Resposta

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