Use o Teorema do Confronto para determinar o limite.
lim (x, y) (0,0) x yraizx^2+y^2

Passo 1

Queremos calcular o limite de xyraizx^2+y^2 quando (x,y)to(0,0), usando o Teorema do Confronto. Vamos precisar estimar o valor absoluto dessa expressão e encontrar uma desigualdade que a compare com algo que vai a zero.

Passo 2

Para usar o Squeeze, analisamos o valor absoluto da função: |xyraizx^2+y^2| = |x y|raizx^2+y^2 Agora buscamos uma função que limite isso por cima e que tenda a zero quando (x,y)to(0,0).

Passo 3

Aplicamos a desigualdade aritmético-geométrica para dois números reais, que diz: |x y| <= tfracx^2+y^22. Essa é uma forma prática de relacionar o produto xy com a soma dos quadrados.

Passo 4

Substituindo |x y| <= tfracx^2+y^22 em |f(x,y)| obtemos
$$\left|\frac{xy}{\sqrt{x2+y2}}\right| \le \frac{\tfrac{x2+y2}{2}}{\sqrt{x2+y2}} = \frac{\sqrt{x2+y2}}{2}.
$$

Passo 5

Como raizx^2+y^2 é a distância de (x,y) à origem, sabemos que raizx^2+y^2to0 quando (x,y)to(0,0). Logo
raizx^2+y^22to0
Pelo Teorema do Confronto, isso força xyraizx^2+y^2to0.

Resposta

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