Utilizando o teste da comparação ou comparação no limite para concluir se as séries convergem ou divergem
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente usar o teste da comparação ou o teste da comparação no limite para determinar se a série infinita
converge ou diverge. Isso envolve entender um pouco sobre séries e como comparar termos para decidir o comportamento delas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a série que temos:
Aqui, cada termo da série é dado por
. Sabemos que
oscila entre -1 e 1. Então, o numerador
varia entre
e
.
Passo 3
Vamos pensar em uma série que seja mais simples de analisar e que possamos comparar com a nossa. Observando
, como
, temos:
A série
é bem conhecida e sabemos que ela converge. Na verdade, ela é uma múltipla da série p, que converge se
.
Passo 4
Agora, aplicando o teste da comparação, como todos os termos da nossa série original são menores ou iguais aos termos de uma série que converge, podemos concluir que a série original também converge.
Resposta
A série
converge pelo teste da comparação, já que seus termos são menores ou iguais aos de uma série p que converge.