Utilizando o teste da comparação ou comparação no limite para concluir se as séries convergem ou divergem
sumn=1^infty 2+cos nn^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente usar o teste da comparação ou o teste da comparação no limite para determinar se a série infinita
sumn=1^infty 2 + cos nn^2
converge ou diverge. Isso envolve entender um pouco sobre séries e como comparar termos para decidir o comportamento delas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a série que temos:
sumn=1^infty 2 + cos nn^2
Aqui, cada termo da série é dado por . Sabemos que oscila entre -1 e 1. Então, o numerador varia entre e .

Passo 3

Vamos pensar em uma série que seja mais simples de analisar e que possamos comparar com a nossa. Observando 2 + cos nn^2 <= 3n^2 , como , temos:
A série é bem conhecida e sabemos que ela converge. Na verdade, ela é uma múltipla da série p, que converge se .

Passo 4

Agora, aplicando o teste da comparação, como todos os termos da nossa série original são menores ou iguais aos termos de uma série que converge, podemos concluir que a série original também converge.

Resposta

A série converge pelo teste da comparação, já que seus termos são menores ou iguais aos de uma série p que converge.

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