Justifique por que em uma rede cristalina cúbica simples 48 \% do espace corresponde a espaços vazios.

Passo 1

Enunciado e o que se pede: temos uma rede cristalina cúbica simples e precisamos justificar por que aproximadamente 48\% do espaço é espaço vazio. Informações relevantes que usamos (vindas do conceito de rede cúbica simples): os átomos podem ser modelados como esferas colocadas nos vértices do cubo (cantos da célula unitária), e cada célula unitária é um cubo de aresta a. A resolução começa a partir dessas informações.

Passo 2

Quantos átomos efetivos há por célula unitária? Cada célula tem 8 vértices (cantos) e em cada vértice há uma esfera cujo centro pertence a oito células adjacentes. Portanto, cada vértice contribui com \tfrac{1}{8} de um átomo para a célula. Logo o número de átomos efetivos por célula é
N = 8 \times \frac{1}{8} = 1.
Explicação didática: pense que oito células se encontram num vértice; a esfera do vértice é compartilhada igualmente entre essas oito células, por isso cada célula “leva” só um oitavo daquela esfera.

Passo 3

Relação entre aresta a da célula e o raio r das esferas (átomos): nas estruturas cúbicas simples, os átomos do vértice tocam-se ao longo da aresta do cubo. Isso significa que a distância entre os centros de dois átomos vizinhos ao longo de uma aresta é exatamente 2r. Como essa distância é a aresta do cubo, temos
a = 2r.
Explicação didática: o centro de um átomo em um vértice e o centro do átomo do vértice adjacente ficam separados pela aresta; se as esferas se tocam, essa separação é o diâmetro 2r.

Passo 4

Volume ocupado por um átomo e volume da célula unitária. Volume de uma esfera (átomo):
V_{\text{átomo}} = \frac{4}{3}\pi r^{3}.á
Volume da célula unitária (cubo de aresta a):
V_{\text{célula}} = a^{3} = (2r)^{3} = 8r^{3}.é
Como há N=1 átomo efetivo por célula, o volume total ocupado pelas esferas dentro da célula é 1\cdot V_{\text{átomo}}=\frac{4}{3}\pi r^{3}á.

Passo 5

Fração volumétrica ocupada (packing fraction). Definimos a fração ocupada \eta como o volume das esferas dentro da célula dividido pelo volume da célula:
\eta = \frac{1\cdot \frac{4}{3}\pi r^{3}}{8r^{3}}.
Cancelando r^{3} e simplificando:
\eta = \frac{\frac{4}{3}\pi}{8} = \frac{4\pi}{24} = \frac{\pi}{6}.
Explicação didática: a dependência em r^{3} cancela, então a fração é independente do tamanho absoluto dos átomos, depende só da geometria.

Passo 6

Avaliação numérica da fração ocupada e do espaço vazio. Primeiro, a fração ocupada:
\eta = \frac{\pi}{6} \approx 0{,}5236 = 52{,}36\%.
Portanto a fração de espaço vazio (não ocupada pelas esferas) é
1-\eta = 1-\frac{\pi}{6} \approx 0{,}4764 = 47{,}64\% \approx 48\%.
Interpretação: cerca de 52{,}36\% do volume da célula é preenchido pelas esferas e os restantes cerca de 47{,}64\% são vazios; arredondando, dizemos que 48\% do espaço é vazio.

Resposta

47{,}64\%\\ (\approx 48\%)

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