Justifique por que em uma rede cristalina cúbica simples
do espace corresponde a espaços vazios.
Passo 1
Enunciado e o que se pede: temos uma rede cristalina cúbica simples e precisamos justificar por que aproximadamente
do espaço é espaço vazio. Informações relevantes que usamos (vindas do conceito de rede cúbica simples): os átomos podem ser modelados como esferas colocadas nos vértices do cubo (cantos da célula unitária), e cada célula unitária é um cubo de aresta
. A resolução começa a partir dessas informações.
Passo 2
Quantos átomos efetivos há por célula unitária? Cada célula tem 8 vértices (cantos) e em cada vértice há uma esfera cujo centro pertence a oito células adjacentes. Portanto, cada vértice contribui com
de um átomo para a célula. Logo o número de átomos efetivos por célula é
Explicação didática: pense que oito células se encontram num vértice; a esfera do vértice é compartilhada igualmente entre essas oito células, por isso cada célula “leva” só um oitavo daquela esfera.
Passo 3
Relação entre aresta
da célula e o raio
das esferas (átomos): nas estruturas cúbicas simples, os átomos do vértice tocam-se ao longo da aresta do cubo. Isso significa que a distância entre os centros de dois átomos vizinhos ao longo de uma aresta é exatamente
. Como essa distância é a aresta do cubo, temos
Explicação didática: o centro de um átomo em um vértice e o centro do átomo do vértice adjacente ficam separados pela aresta; se as esferas se tocam, essa separação é o diâmetro
.
Passo 4
Volume ocupado por um átomo e volume da célula unitária. Volume de uma esfera (átomo):
Volume da célula unitária (cubo de aresta
):
Como há
átomo efetivo por célula, o volume total ocupado pelas esferas dentro da célula é
.
Passo 5
Fração volumétrica ocupada (packing fraction). Definimos a fração ocupada
como o volume das esferas dentro da célula dividido pelo volume da célula:
Cancelando
e simplificando:
Explicação didática: a dependência em
cancela, então a fração é independente do tamanho absoluto dos átomos, depende só da geometria.
Passo 6
Avaliação numérica da fração ocupada e do espaço vazio. Primeiro, a fração ocupada:
Portanto a fração de espaço vazio (não ocupada pelas esferas) é
Interpretação: cerca de
do volume da célula é preenchido pelas esferas e os restantes cerca de
são vazios; arredondando, dizemos que
do espaço é vazio.