JUSTIFIQUE E REDIJA ADEQUADAMENTE TODAS AS SUAS SOLUÇÕES.
Para cada caso abaixo, calcule
derivada(s) parcial(is) indicadas:
; todas as derivadas de segunda ordem;
Para cada caso abaixo, calcule
Passo 1
O enunciado pede para calcular todas as derivadas parciais de segunda ordem de uma função de duas variáveis, ou seja, f_xx, f_xy, f_yx e f_yy. O conteúdo envolve derivadas parciais sucessivas e o uso da propriedade de Clairaut, que garante f_xy = f_yx sob condições de continuidade das derivadas.
Passo 2
Para simplificar a diferenciação, observe que
Derivando em relação a x, tratamos y como constante:
Passo 3
Ainda usando f(x,y)=x2y{-2}+1, derivamos em relação a y, tratando x como constante. Aplicando a regra do produto (ou potência):
Passo 4
Agora obtemos as derivadas de segunda ordem começando por f_xx e f_xy. Derivando f_x=2x y^{-2} em relação a x:
Em seguida derivamos f_x em relação a y:
Passo 5
Por fim calculamos f_yx e f_yy. Derivando f_y=-2x2y{-3} em relação a x:
confirmando f_{yx}=f_{xy}. Depois derivamos f_y em relação a y:
Resposta
f_{xx}=\tfrac{2}{y^2}, \quad f_{xy}=f_{yx}=-\tfrac{4x}{y^3}, \quad f_{yy}=\tfrac{6x2}{y4}