JUSTIFIQUE E REDIJA ADEQUADAMENTE TODAS AS SUAS SOLUÇÕES.
Para cada caso abaixo, calcule a(s) derivada(s) parcial(is) indicadas:
f(x, y)=x^2+y^2y^2; todas as derivadas de segunda ordem;

Passo 1

O enunciado pede para calcular todas as derivadas parciais de segunda ordem de uma função de duas variáveis, ou seja, f_xx, f_xy, f_yx e f_yy. O conteúdo envolve derivadas parciais sucessivas e o uso da propriedade de Clairaut, que garante f_xy = f_yx sob condições de continuidade das derivadas.

Passo 2

Para simplificar a diferenciação, observe que
f(x,y)=x^2+y^2y^2=x^2y^-2+1
Derivando em relação a x, tratamos y como constante:
fx=partialpartial x(x^2y^-2+1)=2x,y^-2

Passo 3

Ainda usando f(x,y)=x2y{-2}+1, derivamos em relação a y, tratando x como constante. Aplicando a regra do produto (ou potência):
fy=partialpartial y(x^2y^-2)+partialpartial y(1)=x^2(-2)y^-3+0=-2x^2y^-3

Passo 4

Agora obtemos as derivadas de segunda ordem começando por f_xx e f_xy. Derivando f_x=2x y^{-2} em relação a x:
fxx=partialpartial x(2x y^-2)=2y^-2
Em seguida derivamos f_x em relação a y:
fxy=partialpartial y(2x y^-2)=2x(-2)y^-3=-4x y^-3

Passo 5

Por fim calculamos f_yx e f_yy. Derivando f_y=-2x2y{-3} em relação a x:
fyx=partialpartial x(-2x^2y^-3)=-4x y^-3,
confirmando f_{yx}=f_{xy}. Depois derivamos f_y em relação a y:
fyy=partialpartial y(-2x^2y^-3)=-2x^2(-3)y^-4=6x^2y^-4

Resposta

f_{xx}=\tfrac{2}{y^2}, \quad f_{xy}=f_{yx}=-\tfrac{4x}{y^3}, \quad f_{yy}=\tfrac{6x2}{y4}

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