Resolva as seguintes EDOs para
.
;
Passo 1
A equação dada é
. Esse é o formato da equação de Legendre, cujo enunciado padrão é
. Vamos usar teoria de equações de Legendre para resolver.
Passo 2
Comparando os coeficientes, vemos que
. Isso vem diretamente da parte que multiplica
na equação padrão.
Passo 3
Resolvendo
temos a equação quadrática
. Logo,
as raízes são
Passo 4
A solução geral da equação de Legendre de grau
é
onde
Passo 5
Para completar, o polinômio de Legendre de grau 5 é
Resposta
y(x) = C_{1}P_{5}(x) + C_{2}Q_{5}(x), onde
P_{5}(x) = \frac{1}{8}\bigl(63x^{5} - 70x^{3} + 15x\bigr) e Q_{5}(x) é a função de Legendre da segunda espécie de grau 5.