Resolva as seguintes EDOs para x in(-1,1).
(1-x^2) y^prime prime-2 x y^prime+30 y=0;

Passo 1

A equação dada é (1 - x^2)y'' - 2x y' + 30y = 0. Esse é o formato da equação de Legendre, cujo enunciado padrão é (1 - x^2)y'' - 2x y' + n(n+1)y = 0. Vamos usar teoria de equações de Legendre para resolver.

Passo 2

Comparando os coeficientes, vemos que n(n+1) = 30. Isso vem diretamente da parte que multiplica y na equação padrão.

Passo 3

Resolvendo n(n+1) = 30 temos a equação quadrática n^2 + n - 30 = 0. Logo,
n = -1 pm raiz1 + 1202 = -1 pm 112,
as raízes são n = 5 ou n = -6. Como procuramos soluções na forma de polinômios de Legendre, escolhemos n = 5.

Passo 4

A solução geral da equação de Legendre de grau n=5 é
y(x) = C1P5(x) + C2Q5(x),
onde P5(x) é o polinômio de Legendre de primeira espécie e Q5(x) é a solução de segunda espécie.

Passo 5

Para completar, o polinômio de Legendre de grau 5 é
P5(x) = 18l(63x^5 - 70x^3 + 15xr)

Resposta

y(x) = C_{1}P_{5}(x) + C_{2}Q_{5}(x), onde
P_{5}(x) = \frac{1}{8}\bigl(63x^{5} - 70x^{3} + 15x\bigr) e Q_{5}(x) é a função de Legendre da segunda espécie de grau 5.

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