Encontre uma solução para y^prime prime-2 x y=0 com y(3)=-2 e y^prime(3)=5.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial y'' - 2xy = 0 com as condições iniciais y(3) = -2e e y'(3) = 5. Isso envolve o conteúdo de funções de Airy e mudança de variável para transformar em uma equação do tipo yzz - zy = 0.

Passo 2

Para levar y'' - 2xy = 0 ao formato da equação de Airy, fazemos a mudança de variável z = a x escolhendo a de modo a cancelar o coeficiente. Seja a = 2^1/3. Então
d^2ydx^2=a^2d^2ydz^2, x=za,

Passo 3

substituindo em y''-2xy=0 vem
a^2yzz-2zay=0Longrightarrow yzz-zy=0,que é exatamente a equação de Airy padrão. A solução geral dessa equação é combinação linear das funções de Airy Ai(z) e Bi(z):
y(z)=C1Ai(z)+C2Bi(z)

Passo 4

Voltando à variável original x, temos z=a x=2^1/3x, então
y(x)=C1Ai(2^1/3x)+C2Bi(2^1/3x)

Passo 5

Agora aplicamos as condições iniciais. Primeiro
y(3)=C1Ai(3,2^1/3)+C2Bi(3,2^1/3)=-2e

Passo 6

Em seguida derivamos com respeito a x:
y'(x)=2^1/3l[C1Ai'(2^1/3x)+C2Bi'(2^1/3x)r],logo
y'(3)=2^1/3l[C1Ai'(3,2^1/3)+C2Bi'(3,2^1/3)r]=5

Passo 7

Isso gera o sistema linear em C1,C2:
C1A+C2B=-2e,C1A'+C2B'=5/2^1/3,onde definimos
A=Ai(3,2^1/3),;B=Bi(3,2^1/3),;A'=Ai'(3,2^1/3),;B'=Bi'(3,2^1/3)

Passo 8

Resolvendo esse sistema (pela regra de Cramer, por exemplo) obtemos
C1=-2e,B'-tfrac52^1/3BA B'-A' B, C2=tfrac52^1/3A+2e,A'A B'-A' B

Resposta

A solução é
y(x)=C1,Ai(2^1/3x)+C2,Bi(2^1/3x),
com
C1=-2e,Bi'(3,2^1/3)-tfrac52^1/3Bi(3,2^1/3)Ai(3,2^1/3),Bi'(3,2^1/3)-Ai'(3,2^1/3),Bi(3,2^1/3),
$$C_2=\frac{\tfrac{5}{2{1/3}}\mathrm{Ai}(3,2{1/3})+2e,\mathrm{Ai}’(3,2{1/3})}{\mathrm{Ai}(3,2{1/3}),\mathrm{Bi}’(3,2{1/3})-\mathrm{Ai}’(3,2{1/3}),\mathrm{Bi}(3,2^{1/3})}.
$$

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