Justifique sua resposta.
O ponto x=0 é um ponto singular da EDO: x y^prime prime+(sin x) y^prime+(1- cos x) y=0 ?

Passo 1

O enunciado pergunta se o ponto x=0 é singular para a EDO
x,y''+(sin x),y'+(1-cos x),y=0
O conteúdo aqui é a classificação de pontos (ordinários, singulares regulares ou irregulares) em EDOs lineares de segunda ordem. Para resolver, vamos usar a definição que vê se o coeficiente líder se anula e, em caso afirmativo, checar as condições de singularidade regular.

Passo 2

Primeiro, identificamos o coeficiente de y'', que chamamos de a2(x). Aqui a2(x)=x. Note que a2(0)=0, ou seja, a equação degenerou em x=0, então x=0 é de fato um ponto singular.

Passo 3

Para ver se ele é um ponto singular regular, precisamos escrever a EDO na forma padrão
y''+P(x),y'+Q(x),y=0
Dividindo toda a equação original por x, obtemos
y''+sin xx,y'+1-cos xx,y=0
Logo P(x)=sin xx e Q(x)=1-cos xx.

Passo 4

A condição de singularidade regular exige que xP(x) e x^2Q(x) sejam analíticas em x=0. Vamos verificar via séries de Taylor:
xP(x)=xsin xx=sin x= x-x^36+cdots,
x^2Q(x)=x^21-cos xx=x(1-cos x)= xl(tfracx^22-tfracx^424+cdotsr)=x^32-x^524+cdots
Ambas as séries são convergentes (funções analíticas) em torno de x=0.

Passo 5

Como xP(x) e x^2Q(x) são analíticas em x=0, o ponto singular x=0 é um ponto singular regular da equação dada.

Resposta

Sim. Como o coeficiente de y'' se anula em x=0 (ponto singular) e ao dividir por x as funções xP(x)=sin x e x^2Q(x)=x(1-cos x) são analíticas, concluímos que x=0 é um ponto singular regular.

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