Justifique sua resposta.
O ponto
é um ponto singular da EDO:
O ponto
Passo 1
O enunciado pergunta se o ponto x=0 é singular para a EDO
O conteúdo aqui é a classificação de pontos (ordinários, singulares regulares ou irregulares) em EDOs lineares de segunda ordem. Para resolver, vamos usar a definição que vê se o coeficiente líder se anula e, em caso afirmativo, checar as condições de singularidade regular.
Passo 2
Primeiro, identificamos o coeficiente de
, que chamamos de
. Aqui
. Note que
, ou seja, a equação degenerou em x=0, então x=0 é de fato um ponto singular.
Passo 3
Para ver se ele é um ponto singular regular, precisamos escrever a EDO na forma padrão
Dividindo toda a equação original por
Logo
e
.
Passo 4
A condição de singularidade regular exige que
e
sejam analíticas em x=0. Vamos verificar via séries de Taylor:
Ambas as séries são convergentes (funções analíticas) em torno de x=0.
Passo 5
Como
e
são analíticas em x=0, o ponto singular x=0 é um ponto singular regular da equação dada.
Resposta
Sim. Como o coeficiente de
se anula em x=0 (ponto singular) e ao dividir por x as funções
e
são analíticas, concluímos que x=0 é um ponto singular regular.