Resolva as seguintes EDOs para
.
;
Passo 1
O enunciado pede para resolver a EDO
[(1 - x^2),y’’ - 2x,y’ + 12,y = 0\n\npara
. Esse é o caso canônico da equação de Legendre, que leva a funções de Legendre de ordem
.
Passo 2
A equação padrão de Legendre é
[(1 - x^2),y’’ - 2x,y’ + n(n + 1),y = 0\n\nComparando com o nosso caso, identificamos que
.
Passo 3
Resolvendo a equação quadrática para
:
As raízes são
e
. Esses dois valores dão as duas soluções independentes da EDO.
Passo 4
Para
a solução regular em
é o polinômio de Legendre
, e para
obtemos a segunda solução independente que é a função de Legendre do segundo tipo
. Assim, a solução geral fica como combinação linear dessas duas.
Passo 5
O polinômio de Legendre de ordem 3 é dado por
e a função
pode ser escrita em termos de
.
Resposta
A solução geral para
é
onde