Resolva as seguintes EDOs para x in(-1,1).
(1-x^2) y^prime prime-2 x y^prime+12 y=0;

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO
[(1 - x^2),y’’ - 2x,y’ + 12,y = 0\n\npara xin(-1,1). Esse é o caso canônico da equação de Legendre, que leva a funções de Legendre de ordem n.

Passo 2

A equação padrão de Legendre é
[(1 - x^2),y’’ - 2x,y’ + n(n + 1),y = 0\n\nComparando com o nosso caso, identificamos que n(n+1)=12.

Passo 3

Resolvendo a equação quadrática para n:
n^2 + n - 12 = 0
As raízes são n=3 e n=-4. Esses dois valores dão as duas soluções independentes da EDO.

Passo 4

Para n=3 a solução regular em (-1,1) é o polinômio de Legendre P3(x), e para n=-4 obtemos a segunda solução independente que é a função de Legendre do segundo tipo Q3(x). Assim, a solução geral fica como combinação linear dessas duas.

Passo 5

O polinômio de Legendre de ordem 3 é dado por
P3(x) = tfrac12,(5x^3 - 3x)
e a função Q3(x) pode ser escrita em termos de arctanh(x).

Resposta

A solução geral para xin(-1,1) é
y(x) = C1,P3(x) + C2,Q3(x),
onde
P3(x) = 12,(5x^3 - 3x)

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