Calcule aproximadamente (1.01)^2.03.

Passo 1

O enunciado pede para aproximar o valor de (1.01)^{2.03}. O conteúdo principal aqui é a exponenciação com expoente real e base próxima de 1, e vamos precisar usar a fórmula a^b = exp(b·ln a) além de aproximar ln(1+x) e exp(y) por séries de Taylor.

Passo 2

Para reescrever a potência, usamos a identidade a^b = expl(bln(a)r). Então
(1.01)^2.03 = expl(2.03cdotln(1.01)r)

Passo 3

Agora precisamos aproximar ln(1.01). Como x=0.01 é pequeno, usamos a série de Taylor até o segundo termo:
ln(1+x) approx x - x^22

Passo 4

Substituindo x=0.01:
ln(1.01) approx 0.01 - (0.01)^22 = 0.01 - 0.00005 = 0.00995

Passo 5

Em seguida, calculamos o produto do expoente pela ln:
y = 2.03 times 0.00995 approx 2times0.00995 + 0.03times0.00995 = 0.01990 + 0.0002985 = 0.0201985

Passo 6

Por fim, aproximamos exp(y) usando novamente a série de Taylor até o segundo termo:
exp(y) approx 1 + y + y^22

Passo 7

Substituindo y=0.0201985:
exp(0.0201985) approx 1 + 0.0201985 + (0.0201985)^22 approx 1 + 0.0201985 + 0.000204 = 1.0204025

Resposta

Aproximadamente 1.0204

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