(a) Determinar todos os valores de a para os quais A é invertível.
(b) Determinar a matriz A^{-1} quando a=-1.
Informações relevantes dadas:
A matriz A depende de um parâmetro a.
Para uma matriz quadrada 3\times3, ela é invertível exatamente quando \det(A)\neq0.]
Passo 2
Explicar a ideia prática que usarei para (a): para saber se A é invertível vou calcular \det(A) como função de a. Se \det(A) for diferente de zero para todos os a (ou para quais valores de a for diferente de zero), então há invertibilidade nesses a.
Relembrando (rápido e simples) como calcular o determinante de uma matriz 3\times3: uma forma prática é expandir por uma linha ou coluna que tenha zeros para facilitar. Se a primeira linha é (a_{11},a_{12},a_{13}), então
\det(A)=a_{11}C_{11}+a_{12}C_{12}+a_{13}C_{13},
onde C_{1j}=(-1)^{1+j}\det(M_{1j}) é o cofator relativo ao elemento a_{1j} e M_{1j} é a matriz 2\times2 obtida eliminando a 1ª linha e a j-ésima coluna.
Passo 3
Calcular \det(A) expandindo pela primeira linha (que tem dois zeros, ótimo!):
A primeira linha é (0,\,1,\,0). Assim só o termo do meio contribui:
Interpretação do resultado para a parte (a): como \det(A)=7 não depende de a e é diferente de zero, a matriz A é invertível para todo valor de a (ou seja, para todo a\in\mathbb{R}).
Breve reforço de entendimento: para qualquer matriz quadrada, ter determinante não-zero é a condição necessária e suficiente para existência de inversa; aqui o determinante deu uma constante não nula, logo nenhuma escolha de a anula a determinante.
Passo 5
Agora resolvo (b): calcular A^{-1} quando a=-1.
Primeiro escrevo a matriz A com a=-1. Substituindo:
Vou usar o método da adjunta (adjugate): para matriz invertível A vale
A^{-1}=\frac{1}{\det(A)}\operatorname{adj}(A),
onde \operatorname{adj}(A) é a transposta da matriz dos cofatores. Já sabemos \det(A)=7, portanto basta calcular a matriz de cofatores, transpor e dividir por 7.]
Passo 6
Calcular todos os cofatores de A\bigl|_{a=-1}. Vou listar os menores 2\times2, seus determinantes e os cofatores C_{ij}=(-1)^{i+j}\det(M_{ij}).
Para C_{11}: menor eliminando linha 1 e coluna 1 é