2^{\mathbf{a}} Questão: ( 10 pontos) Considere a matriz:
A=\left[\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 0 \\\\ -3 & 5 & -1 \\\\ 3 a-4 & 0 & a+1 \end{array}\right]
(5 pontos) (a) Determine todos os valores de a para que a matriz dada acima seja invertível.
(5 pontos) (b) Determine a matriz A^{-1} quando a=-1.

Passo 1

O enunciado fornece a matriz
A=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\[4pt] -3 & 5 & -1\\[4pt] 3a-4 & 0 & a+1 \end{pmatrix}
e faz duas perguntas claras:
  • (a) Determinar todos os valores de a para os quais A é invertível.
  • (b) Determinar a matriz A^{-1} quando a=-1.
Informações relevantes dadas:
  • A matriz A depende de um parâmetro a.
  • Para uma matriz quadrada 3\times3, ela é invertível exatamente quando \det(A)\neq0.]

Passo 2

Explicar a ideia prática que usarei para (a): para saber se A é invertível vou calcular \det(A) como função de a. Se \det(A) for diferente de zero para todos os a (ou para quais valores de a for diferente de zero), então há invertibilidade nesses a.
Relembrando (rápido e simples) como calcular o determinante de uma matriz 3\times3: uma forma prática é expandir por uma linha ou coluna que tenha zeros para facilitar. Se a primeira linha é (a_{11},a_{12},a_{13}), então
\det(A)=a_{11}C_{11}+a_{12}C_{12}+a_{13}C_{13},
onde C_{1j}=(-1)^{1+j}\det(M_{1j}) é o cofator relativo ao elemento a_{1j} e M_{1j} é a matriz 2\times2 obtida eliminando a 1ª linha e a j-ésima coluna.

Passo 3

Calcular \det(A) expandindo pela primeira linha (que tem dois zeros, ótimo!):
A primeira linha é (0,\,1,\,0). Assim só o termo do meio contribui:
\det(A)=1\cdot C_{12}.
O cofator C_{12} é
C_{12}=(-1)^{1+2}\det\begin{pmatrix}-3 & -1 \\[4pt] 3a-4 & a+1\end{pmatrix} = -\bigl[(-3)(a+1)-(-1)(3a-4)\bigr].
Calculando o determinante 2\times2 dentro dos colchetes:
(-3)(a+1)-(-1)(3a-4) = -3(a+1) + (3a-4) = -3a-3+3a-4 = -7.
Então
C_{12} = -(-7)=7,
e portanto
\det(A)=1\cdot 7 = 7.]

Passo 4

Interpretação do resultado para a parte (a): como \det(A)=7 não depende de a e é diferente de zero, a matriz A é invertível para todo valor de a (ou seja, para todo a\in\mathbb{R}).
Breve reforço de entendimento: para qualquer matriz quadrada, ter determinante não-zero é a condição necessária e suficiente para existência de inversa; aqui o determinante deu uma constante não nula, logo nenhuma escolha de a anula a determinante.

Passo 5

Agora resolvo (b): calcular A^{-1} quando a=-1.
Primeiro escrevo a matriz A com a=-1. Substituindo:
3a-4 = 3(-1)-4 = -7,\qquad a+1 = -1+1 = 0.
Logo
A\bigl|_{a=-1}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\[4pt] -3 & 5 & -1\\[4pt] -7 & 0 & 0 \end{pmatrix}.
Vou usar o método da adjunta (adjugate): para matriz invertível A vale
A^{-1}=\frac{1}{\det(A)}\operatorname{adj}(A),
onde \operatorname{adj}(A) é a transposta da matriz dos cofatores. Já sabemos \det(A)=7, portanto basta calcular a matriz de cofatores, transpor e dividir por 7.]

Passo 6

Calcular todos os cofatores de A\bigl|_{a=-1}. Vou listar os menores 2\times2, seus determinantes e os cofatores C_{ij}=(-1)^{i+j}\det(M_{ij}).
  • Para C_{11}: menor eliminando linha 1 e coluna 1 é
M_{11}=\begin{pmatrix}5 & -1\\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix},
\det(M_{11}) = 5\cdot 0 - (-1)\cdot 0 = 0, \qquad C_{11}= (+1)\cdot 0 = 0.
  • Para C_{12}: menor eliminando linha 1 e coluna 2 é
M_{12}=\begin{pmatrix}-3 & -1\\[4pt] -7 & 0\end{pmatrix},
\det(M_{12}) = (-3)\cdot 0 - (-1)\cdot(-7) = 0 - 7 = -7, \qquad C_{12}=(-1)\cdot(-7)=7.
  • Para C_{13}: menor eliminando linha 1 e coluna 3 é
M_{13}=\begin{pmatrix}-3 & 5\\[4pt] -7 & 0\end{pmatrix},
\det(M_{13}) = (-3)\cdot 0 - 5\cdot(-7) = 35, \qquad C_{13}=(+1)\cdot 35 = 35.
  • Para C_{21}: menor eliminando linha 2 e coluna 1 é
M_{21}=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix},
\det(M_{21}) = 1\cdot 0 - 0\cdot 0 = 0, \qquad C_{21}=(-1)\cdot 0 = 0.
  • Para C_{22}: menor eliminando linha 2 e coluna 2 é
M_{22}=\begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt] -7 & 0\end{pmatrix},
\det(M_{22}) = 0\cdot 0 - 0\cdot(-7) = 0, \qquad C_{22}=(+1)\cdot 0 = 0.
  • Para C_{23}: menor eliminando linha 2 e coluna 3 é
M_{23}=\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt] -7 & 0\end{pmatrix},
\det(M_{23}) = 0\cdot 0 - 1\cdot(-7) = 7, \qquad C_{23}=(-1)\cdot 7 = -7.
  • Para C_{31}: menor eliminando linha 3 e coluna 1 é
M_{31}=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt] 5 & -1\end{pmatrix},
\det(M_{31}) = 1\cdot(-1) - 0\cdot 5 = -1, \qquad C_{31}=(+1)\cdot(-1) = -1.
  • For C_{32}: menor eliminando linha 3 e coluna 2 is
M_{32}=\begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt] -3 & -1\end{pmatrix},
\det(M_{32}) = 0\cdot(-1) - 0\cdot(-3) = 0, \qquad C_{32}=(-1)\cdot 0 = 0.
  • For C_{33}: menor eliminando linha 3 e coluna 3 is
M_{33}=\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt] -3 & 5\end{pmatrix},
\det(M_{33}) = 0\cdot 5 - 1\cdot(-3) = 3, \qquad C_{33}=(+1)\cdot 3 = 3.
Assim a matriz dos cofatores é
\begin{pmatrix} C_{11} & C_{12} & C_{13}\\[4pt] C_{21} & C_{22} & C_{23}\\[4pt] C_{31} & C_{32} & C_{33} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 7 & 35\\[4pt] 0 & 0 & -7\\[4pt] -1 & 0 & 3 \end{pmatrix}.]

Passo 7

Transpor a matriz de cofatores para obter a adjunta:
\operatorname{adj}(A)=\text{(matriz de cofatores)}^{T} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & -1\\[4pt] 7 & 0 & 0\\[4pt] 35 & -7 & 3 \end{pmatrix}.
Dividir por \det(A)=7 para obter A^{-1}:
A^{-1}=\frac{1}{7}\operatorname{adj}(A) = \frac{1}{7} \begin{pmatrix} 0 & 0 & -1\\[4pt] 7 & 0 & 0\\[4pt] 35 & -7 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & -\tfrac{1}{7}\\[6pt] 1 & 0 & 0\\[6pt] 5 & -1 & \tfrac{3}{7} \end{pmatrix}.]

Resposta

Para todo a\in\mathbb{R} (ou seja, todos os valores de a), a matriz A é invertível.
A^{-1}\Big|_{a=-1}= \begin{pmatrix} 0 & 0 & -\tfrac{1}{7}\\[6pt] 1 & 0 & 0\\[6pt] 5 & -1 & \tfrac{3}{7} \end{pmatrix}]

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