Nos exercícios abaixo,determine para que valores de k \in \mathbb{R} o sistema(a)tem solução única; (b)não tem solução;(c)possui infinitas soluções.
27. \{\begin{aligned} x+2 y+z & =3 \\ 2 x-y-3 z & =5 \\ 4 x+3 y-z & =k\end{aligned}\right.

Passo 1

O enunciado pede os valores de k\in\mathbb{R} para que o sistema
\begin{cases} x + 2y + z = 3,\\\\ 2x - y - 3z = 5,\\\\ 4x + 3y - z = k \end{cases}
tenha (a) solução única, (b) nenhuma solução e (c) infinitas soluções. Vamos usar determinante para checar singularidade e dependência linear das equações para consistência.

Passo 2

Calculemos o determinante da matriz dos coeficientes
A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1\\\\ 2 & -1 & -3\\\\ 4 & 3 & -1 \end{pmatrix}.
Usando a regra de Sarrus ou expansão por primeira linha:
\det A = 1\bigl[(-1)(-1)-(-3)\cdot3\bigr] -2\bigl[2(-1)-(-3)\cdot4\bigr] +1\bigl[2\cdot3-(-1)\cdot4\bigr] =10 - 20 + 10 = 0.

Passo 3

Como \det A=0, a matriz é singular, logo não existe valor de k que torne o sistema com solução única.

Passo 4

Para decidir entre nenhuma ou infinitas soluções, procuramos dependência linear entre as três equações. Observamos que a terceira linha de A\) é combinação das duas primeiras: se existem \(a\) e \(b\) tais que \[a(1,2,1)+b(2,-1,-3) = (4,3,-1).
Isso dá o sistema
\begin{cases} a + 2b = 4,\\\\ 2a - b = 3,\\\ a - 3b = -1, \end{cases}
cuja solução é a=2\], \(b=1. Logo
\text{linha}_3 = 2\cdot\text{linha}_1 + 1\cdot\text{linha}_2.

Passo 5

Para que o sistema seja consistente, a mesma combinação deve valer para o termo independente:
k \overset{!}{=} 2\cdot3 + 1\cdot5 = 6 + 5 = 11.
Se k=11, a terceira equação não traz informação nova e há infinitas soluções; se k\neq11, a terceira é incompatível com as duas primeiras e não há solução.

Resposta

(a) não existe k que dê solução única
(b) não tem solução se k\neq11
(c) tem infinitas soluções se k=11

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