Exercs. 49-50: Para a série convergente dada, (a) aproxime 
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos uma série infinita convergente:
O que precisamos fazer é:
a) Calcular as somas parciais 
b) Encontrar uma aproximação da soma total da série com três casas decimais.
Para resolver isso, vamos precisar entender como somar os primeiros termos da série e, para a parte (b), usar uma fórmula que nos ajude a encontrar a soma total da série.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular as somas parciais 
Então,
Vamos calcular isso:
Passo 3
Agora, calculamos 
Primeiro, calculamos 
Então,
Passo 4
Vamos calcular 
Calculando 
Então,
Passo 5
Agora, para a parte (b), queremos aproximar a soma total da série com três casas decimais. Para isso, podemos usar a fórmula da soma de uma série geométrica que envolve funções trigonométricas.
Sabemos que:
Vamos substituir os valores:
[
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin(n)}{4^{n}} \approx \frac{0.25 \times 0.84147}{1 - 0.25 \times 0.54030} = \frac{0.21037}{1 - 0.13508} = \frac{0.21037}{0.86492} \approx 0.243
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin(n)}{4^{n}} \approx \frac{0.25 \times 0.84147}{1 - 0.25 \times 0.54030} = \frac{0.21037}{1 - 0.13508} = \frac{0.21037}{0.86492} \approx 0.243
]
Resposta
(a) As somas parciais são:
(b) A aproximação da soma da série é:
