Exercs. 49-50: Para a série convergente dada, (a) aproxime S1, S2 e S3 com cinco casas decimais e (b) obtenha uma aproximação da soma da série com três casas decimais.
49 sumn=1^infty sen n4^n

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos uma série infinita convergente:
sumn=1^infty sin(n)4^n
O que precisamos fazer é:
a) Calcular as somas parciais , e com cinco casas decimais cada.
b) Encontrar uma aproximação da soma total da série com três casas decimais.
Para resolver isso, vamos precisar entender como somar os primeiros termos da série e, para a parte (b), usar uma fórmula que nos ajude a encontrar a soma total da série.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular as somas parciais S1 = sin(1)4^1 , S1 = sin(1)4 approx 0.841474 = 0.21037 e . Uma soma parcial é simplesmente a soma dos primeiros termos da série.
Então,
Vamos calcular isso:

Passo 3

Agora, calculamos S2 = S1 + sin(2)4^2 :
sin(2)16 approx 0.9093016 = 0.05683
Primeiro, calculamos S2 = 0.21037 + 0.05683 = 0.26720 :
Então,

Passo 4

Vamos calcular S3 = S2 + sin(3)4^3 :
sin(3)64 approx 0.1411264 = 0.00220
Calculando S3 = 0.26720 + 0.00220 = 0.26940 :
Então,

Passo 5

Agora, para a parte (b), queremos aproximar a soma total da série com três casas decimais. Para isso, podemos usar a fórmula da soma de uma série geométrica que envolve funções trigonométricas.
Sabemos que:
sumn=1^infty sin(n)4^n = 14 sin(1)1 - 14 cos(1)
Vamos substituir os valores:
[
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin(n)}{4^{n}} \approx \frac{0.25 \times 0.84147}{1 - 0.25 \times 0.54030} = \frac{0.21037}{1 - 0.13508} = \frac{0.21037}{0.86492} \approx 0.243
]

Resposta

(a) As somas parciais são:
S1 approx 0.21037
S2 approx 0.26720
S3 approx 0.26940
(b) A aproximação da soma da série é:
sumn=1^infty sin(n)4^n approx 0.243

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