Cálçule a área das superfícies descritas em cada item.
(b) superfície gerada pela rotação da curva 
  em torno do eixo x delimitada pelo intervalo 
 .
(b) superfície gerada pela rotação da curva
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular a área de uma superfície gerada pela rotação da curva 
  em torno do eixo 
 , no intervalo de 
 . Vamos usar cálculo de superfícies de revolução para resolver isso. Precisaremos da fórmula para área de superfície gerada por rotação e calcular algumas derivadas.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar da fórmula para a área de uma superfície gerada ao girar uma curva em torno do eixo 
 . A fórmula é:
Aqui, 
  é a função que estamos girando, e 
  é a derivada de 
  em relação a 
 .
Passo 3
Vamos calcular a derivada de 
  em relação a 
 . Dada a curva 
 :
Passo 4
Agora, substituímos 
  na fórmula da área:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
Não há como simplificar mais essa expressão algebraicamente, então vamos seguir com a integração.
Passo 6
Vamos fazer uma substituição para facilitar a integração. Seja:
Mas isso não simplifica diretamente. Vamos considerar uma substituição diferente usando integrais padrão ou tabelas de integrais.
Passo 7
Observamos que a integral tem a forma:
Podemos usar substituição 
 :
Então, a integral fica:
Passo 8
Integrando 
 :
Substituindo de volta 
 :
Passo 9
Agora, aplicamos os limites de integração de 
  a 
 :
Calculando os valores:
Para 
 :
Para 
 :
Passo 10
Substituindo de volta:
Resposta
A área da superfície é 
  unidades de área.