Cálçule a área das superfícies descritas em cada item.
(b) superfície gerada pela rotação da curva
em torno do eixo x delimitada pelo intervalo
.
(b) superfície gerada pela rotação da curva
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular a área de uma superfície gerada pela rotação da curva
em torno do eixo
, no intervalo de
. Vamos usar cálculo de superfícies de revolução para resolver isso. Precisaremos da fórmula para área de superfície gerada por rotação e calcular algumas derivadas.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar da fórmula para a área de uma superfície gerada ao girar uma curva em torno do eixo
. A fórmula é:
Aqui,
é a função que estamos girando, e
é a derivada de
em relação a
.
Passo 3
Vamos calcular a derivada de
em relação a
. Dada a curva
:
Passo 4
Agora, substituímos
na fórmula da área:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
Não há como simplificar mais essa expressão algebraicamente, então vamos seguir com a integração.
Passo 6
Vamos fazer uma substituição para facilitar a integração. Seja:
Mas isso não simplifica diretamente. Vamos considerar uma substituição diferente usando integrais padrão ou tabelas de integrais.
Passo 7
Observamos que a integral tem a forma:
Podemos usar substituição
:
Então, a integral fica:
Passo 8
Integrando
:
Substituindo de volta
:
Passo 9
Agora, aplicamos os limites de integração de
a
:
Calculando os valores:
Para
:
Para
:
Passo 10
Substituindo de volta:
Resposta
A área da superfície é
unidades de área.