Justifique todas as suas afirmações.
As coordenadas dos vetores e dos pontos que aparecem nos exercícios a seguir são suas coordenadas com relação a um sistema de coordenadas ortonormal positivo.
Encontre equações vetorial, paramétricas e geral do plano pi que
contém o ponto A=(1,2,1) e é paralelo aos vetores u=(1,0,0) e v= ( 0,1,0 ).

Passo 1

O enunciado pede as equações de um plano pi que passa pelo ponto A=(1,2,1) e é paralelo aos vetores u=(1,0,0) e v=(0,1,0).
Conteúdo: representação de plano em coordenadas – vetorial, paramétrica e forma geral.
Precisamos de:
1. Um ponto Ainpi.
2. Dois vetores diretores u,v paralelos a pi.
3. O vetor normal n=utimesv para obter a forma geral.

Passo 2

Calcular o vetor normal n ao plano como produto vetorial de u e v.
n = u times v = i & j & k 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 = (0,0,1)
Justificativa: n é ortogonal a quaisquer vetores do plano, portanto a um gerador da base direcional.

Passo 3

Escrever a equação vetorial do plano usando um ponto A e vetores diretores u,v:
r = OA + s,u + t,v,
em que OA=(1,2,1). Logo,
r(s,t) = (1,2,1) + s,(1,0,0) + t,(0,1,0)

Passo 4

Extrair daí a forma paramétrica. Se
Justificativa: os parâmetros e .

Passo 5

Obter a forma geral pelo produto escalar ncdotl((x,y,z)-Ar)=0.
(0,0,1)cdotl((x,y,z)-(1,2,1)r)=0 Longrightarrow z-1=0
Esta é a equação geral do plano.

Resposta

Equação vetorial:
r = (1,2,1) + s,(1,0,0) + t,(0,1,0)
Equações paramétricas:
x = 1 + s, y = 2 + t, z = 1
Forma geral:
z - 1 = 0

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