Justifique todas as suas respostas e apresente seus cálculos.
Seja f(x, y)=2 x^2+2 y^2 sujeita à condição D=(x, y) in R^2 mid x y <= 1.
Determine os extremos de f na fronteira da região D.

Passo 1

Aqui a ideia é achar extremos de f(x,y)=2x{2}+2y{2} sob a restrição xy≤1, mas focando na fronteira dada por xy=1. O conteúdo é otimização com restrição e vamos usar o método de multiplicadores de Lagrange.

Passo 2

Definimos a função de restrição g(x,y)=xy-1 e montamos as equações de Lagrange com λ:
Escrevemos as condições de estacionaridade:
Então multiplicamos as duas equações para explorar a condição xy=1:

Passo 3

Como xy=1≠0, concluímos λ=±4. Para λ=4 temos x=y e, juntando xy=1, x=y=±1. Para λ=-4 não surge solução real.

Passo 4

Para classificar, observamos que ao longo da curva xy=1, se x→∞ (ou y→∞) então f→∞. Logo não há máximo, e nos pontos (1,1) e (-1,-1) obtemos o menor valor f=4, caracterizando mínimos globais na fronteira.

Resposta

Os mínimos de f na fronteira ocorrem em (1,1) e (-1,-1), com f(±1,±1)=4. Não existe máximo pois f→∞ ao longo de xy=1 quando |x|→∞.

Exercícios relacionados