Justifique todas as suas respostas e apresente seus cálculos.
Seja
sujeita à condição
.
Determine os extremos de
na fronteira da região
.
Seja
Determine os extremos de
Passo 1
Aqui a ideia é achar extremos de f(x,y)=2x{2}+2y{2} sob a restrição xy≤1, mas focando na fronteira dada por xy=1. O conteúdo é otimização com restrição e vamos usar o método de multiplicadores de Lagrange.
Passo 2
Definimos a função de restrição g(x,y)=xy-1 e montamos as equações de Lagrange com λ:
Escrevemos as condições de estacionaridade:
Então multiplicamos as duas equações para explorar a condição xy=1:
Escrevemos as condições de estacionaridade:
Então multiplicamos as duas equações para explorar a condição xy=1:
Passo 3
Como xy=1≠0, concluímos λ=±4. Para λ=4 temos x=y e, juntando xy=1, x=y=±1. Para λ=-4 não surge solução real.
Passo 4
Para classificar, observamos que ao longo da curva xy=1, se x→∞ (ou y→∞) então f→∞. Logo não há máximo, e nos pontos (1,1) e (-1,-1) obtemos o menor valor f=4, caracterizando mínimos globais na fronteira.
Resposta
Os mínimos de f na fronteira ocorrem em (1,1) e (-1,-1), com f(±1,±1)=4. Não existe máximo pois f→∞ ao longo de xy=1 quando |x|→∞.