JUSTIFIQUE TODAS AS RESPOSTAS!!!
Considere as curvas dadas em coordenadas polares
r=raiz3 cos theta, r=sen theta
Encontre as equações cartesianas das curvas e faça um esboço de ambas as curvas.

Passo 1

O enunciado pede para converter as curvas dadas em coordenadas polares r=√3 cos θ e r=sen θ para a forma cartesiana e depois esboçar cada uma. Vamos usar as relações básicas de coordenadas: r²=x²+y², x=r cos θ e y=r sen θ.

Passo 2

Para r=√3 cos θ, multiplicamos ambos os lados por r para usar r² e r cos θ:
r^2=raiz3,rcostheta
Substituindo as relações, obtemos
x^2+y^2=raiz3,x
Reorganizando e completando o quadrado em x:
x^2-raiz3,x+y^2=0 l(x-raiz32r)^2-l(raiz32r)^2+y^2=0 Longrightarrow;l(x-raiz32r)^2+y^2=34
Isso mostra que é um círculo de centro (raiz32,0) e raio raiz32.

Passo 3

Para r=sen θ, fazemos o mesmo: multiplicamos por r
r^2=r,sintheta
Substituindo r²=x²+y² e r sen θ=y, dá
x^2+y^2=y
Reescrevendo e completando o quadrado em y:
x^2+y^2-y=0 x^2+l(y-12r)^2-l(12r)^2=0 Longrightarrow;x^2+l(y-12r)^2=14
Logo, é um círculo de centro (0,12) e raio 12.

Passo 4

No esboço, desenhamos:
• O círculo de centro (raiz32,0) e raio raiz32, que passa pela origem e se estende para a direita.
• O círculo de centro (0,12) e raio 12, que toca a origem e fica acima do eixo x.

Resposta

As equações cartesianas são (x-tfracraiz32)^2+y^2=tfrac34 e x^2+(y-tfrac12)^2=tfrac14. A primeira é um círculo de centro (tfracraiz32,0) e raio tfracraiz32; a segunda é um círculo de centro (0,tfrac12) e raio tfrac12.

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