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Considere as curvas dadas em coordenadas polares
Encontre as equações cartesianas das curvas e faça um esboço de ambas as curvas.
Considere as curvas dadas em coordenadas polares
Passo 1
O enunciado pede para converter as curvas dadas em coordenadas polares r=√3 cos θ e r=sen θ para a forma cartesiana e depois esboçar cada uma. Vamos usar as relações básicas de coordenadas: r²=x²+y², x=r cos θ e y=r sen θ.
Passo 2
Para r=√3 cos θ, multiplicamos ambos os lados por r para usar r² e r cos θ:
Substituindo as relações, obtemos
Reorganizando e completando o quadrado em x:
Isso mostra que é um círculo de centro
e raio
.
Passo 3
Para r=sen θ, fazemos o mesmo: multiplicamos por r
Substituindo r²=x²+y² e r sen θ=y, dá
Reescrevendo e completando o quadrado em y:
Logo, é um círculo de centro
e raio
.
Passo 4
No esboço, desenhamos:
• O círculo de centro e raio
, que passa pela origem e se estende para a direita.
• O círculo de centro e raio
, que toca a origem e fica acima do eixo x.
• O círculo de centro
• O círculo de centro
Resposta
As equações cartesianas são
e
. A primeira é um círculo de centro
e raio
; a segunda é um círculo de centro
e raio
.