JUSTIFIQUE TODAS AS RESPOSTAS!!!
Considere as curvas dadas em coordenadas polares
r=raiz3 cos theta, r=sen theta
Encontre a área da região que está dentro de ambas as curvas.

Passo 1

O enunciado pede a área da região comum a duas curvas em coordenadas polares, r= raiz3costheta e r= sintheta. Vamos usar o conteúdo de integração em coordenadas polares, em particular a fórmula de área A=tfrac12integral r^2,dtheta. Para isso precisamos achar o intervalo de theta onde ambas as curvas têm r>=0, o ponto de interseção e determinar qual das duas regula o raio na região comum.

Passo 2

Primeiro encontramos as interseções resolvendo raiz3costheta=sintheta. Temos
tantheta=raiz3 logo theta=pi/3 (no intervalo relevante). Além disso, r= raiz3costheta é não negativa se costheta>=0, ou seja thetain[-pi/2,pi/2], e r= sintheta é não negativa se sintheta>=0, ou seja thetain[0,pi]. O intervalo em que ambas são não negativas é [0,pi/2].

Passo 3

Para achar a região comum, em cada theta tomamos o raio menor de raiz3costheta e sintheta. Testando um ponto no subintervalo [0,pi/3], digamos theta=pi/6, vemos que sin(pi/6)=1/2. Assim, para 0<=theta<=pi/3 o limite é r=sintheta. Para thetain[pi/3,pi/2], por exemplo em theta=pi/2 vale raiz3cos(pi/2)=0<1=sin(pi/2), então o limite é r=raiz3costheta.

Passo 4

Portanto a área comum é
A=12integral0^pi/3(sintheta)^2,dtheta+12integralpi/3^pi/2(raiz3costheta)^2,dtheta

Passo 5

Agora calculamos cada integral. Primeiro
integral0^pi/3sin^2theta,dtheta=integral0^pi/31-cos2theta2,dtheta=gl[theta2-sin2theta4gr]0^pi/3=pi6-raiz38 Multiplicando por 1/2 A1=pi12-raiz316.

Passo 6

Segundo,
integralpi/3^pi/23cos^2theta,dtheta=3integralpi/3^pi/21+cos2theta2,dtheta=32l[theta+tfracsin2theta2r]pi/3^pi/2=pi4-3raiz38 Multiplicando por 1/2 A2=pi8-3raiz316. Somando A1+A2 resulta em
A=5pi24-raiz34

Resposta

A=5pi24-raiz34

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