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Considere as curvas dadas em coordenadas polares
Encontre a área da região que está dentro de ambas as curvas.
Considere as curvas dadas em coordenadas polares
Passo 1
O enunciado pede a área da região comum a duas curvas em coordenadas polares, r=
e r=
. Vamos usar o conteúdo de integração em coordenadas polares, em particular a fórmula de área
. Para isso precisamos achar o intervalo de
onde ambas as curvas têm
, o ponto de interseção e determinar qual das duas regula o raio na região comum.
Passo 2
Primeiro encontramos as interseções resolvendo
. Temos
Passo 3
Para achar a região comum, em cada
tomamos o raio menor de
e
. Testando um ponto no subintervalo
, digamos
, vemos que
. Assim, para
o limite é
. Para
, por exemplo em
vale
, então o limite é
.
Passo 4
Portanto a área comum é
Passo 5
Agora calculamos cada integral. Primeiro
Passo 6
Segundo,