Justifique todas as suas respostas.
Determine, pelo método da sua preferencia, se a serie é convergente ou divergente
Determine, pelo método da sua preferencia, se a serie é convergente ou divergente
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma série infinita que começa no
e vai até o infinito:
O objetivo é descobrir se essa série converge (ou seja, dá um número finito) ou diverge (não dá um número finito). Para resolver isso, vamos precisar usar frações parciais e entender um pouco sobre como séries podem ser simplificadas.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o denominador da fração:
Isso é um polinômio quadrático que podemos fatorar. Vamos encontrar dois números que multiplicados dão
e somados dão
. Esses números são
e
. Então, fatorando:
Agora, nossa série fica:
Passo 3
Vamos separar essa fração em partes mais simples usando frações parciais. Queremos encontrar constantes
e
tais que:
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar os denominadores:
Vamos resolver para
e
. Escolhemos valores de
que simplificam a equação:
- Se
:
- Se
:
Então, a decomposição fica:
Passo 4
Agora, substituímos essa decomposição na série original:
Vamos reescrever os termos:
Passo 5
Observamos que essa série é telescópica, ou seja, muitos termos vão se cancelar quando somarmos. Vamos ver como funciona:
Escrevendo os primeiros termos:
Perceba que
cancela com
,
cancela com
, e assim por diante. O que sobra é:
Passo 6
Para encontrar o valor da série quando
vai para o infinito, tomamos o limite:
Resposta
A série
converge e a soma dela é igual a 1.