Justifique todas as suas respostas.
Determine, pelo método da sua preferencia, se a serie é convergente ou divergente
sumn=3^infty 1n^2-3 n+2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma série infinita que começa no sumn=3^infty 1n^2-3n+2 e vai até o infinito:
O objetivo é descobrir se essa série converge (ou seja, dá um número finito) ou diverge (não dá um número finito). Para resolver isso, vamos precisar usar frações parciais e entender um pouco sobre como séries podem ser simplificadas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o denominador da fração:
n^2 - 3n + 2
Isso é um polinômio quadrático que podemos fatorar. Vamos encontrar dois números que multiplicados dão n^2 - 3n + 2 = (n - 1)(n - 2) e somados dão sumn=3^infty 1(n - 1)(n - 2) . Esses números são e . Então, fatorando:
Agora, nossa série fica:

Passo 3

Vamos separar essa fração em partes mais simples usando frações parciais. Queremos encontrar constantes 1(n - 1)(n - 2) = An - 1 + Bn - 2 e 1 = A(n - 2) + B(n - 1) tais que:
1 = A(0) + B(1) Rightarrow B = 1
Multiplicando ambos os lados por 1 = A(-1) + B(0) Rightarrow A = -1 para eliminar os denominadores:
1(n - 1)(n - 2) = -1n - 1 + 1n - 2
Vamos resolver para e . Escolhemos valores de que simplificam a equação:
  • Se :
  • Se :
Então, a decomposição fica:

Passo 4

Agora, substituímos essa decomposição na série original:
sumn=3^infty ( -1n - 1 + 1n - 2 )
Vamos reescrever os termos:
-1n - 1 + 1n - 2 = 1n - 2 - 1n - 1

Passo 5

Observamos que essa série é telescópica, ou seja, muitos termos vão se cancelar quando somarmos. Vamos ver como funciona:
Escrevendo os primeiros termos:
( 11 - 12 ) + ( 12 - 13 ) + ( 13 - 14 ) + dots
Perceba que 11 - 1n - 1 cancela com , cancela com , e assim por diante. O que sobra é:

Passo 6

Para encontrar o valor da série quando limn to infty ( 1 - 1n - 1 ) = 1 - 0 = 1 vai para o infinito, tomamos o limite:

Resposta

A série converge e a soma dela é igual a 1.

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