Justifique todas as suas respostas.
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência das seguintes séries
sumn=0^infty (2 x-3)^nn^2+3

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar o raio de convergência e o intervalo de convergência da série
sumn=0^infty (2x-3)^nn^2+3
Esse exercício está ligado ao estudo de séries de potências. Para resolver, vamos usar o teste da razão que ajuda a determinar onde a série converge.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o raio de convergência. Ele nos diz até que ponto o valor de L = limn to infty | an+1an | faz a série convergir. Para encontrar esse raio, usamos o limite do termo geral da série.
Vamos aplicar o teste da razão. Esse teste envolve calcular o limite:
Se , a série converge; se , a série diverge; e se , o teste é inconclusivo.

Passo 3

Vamos identificar an = (2x - 3)^nn^2 + 3 na nossa série:
an+1 = (2x - 3)^n+1(n+1)^2 + 3
Agora, calculamos :

Passo 4

Aplicando o teste da razão:
L = limn to infty | an+1an | = limn to infty | (2x - 3)^n+1(n+1)^2 + 3 cdot n^2 + 3(2x - 3)^n |
Simplificando:
L = limn to infty | (2x - 3) cdot n^2 + 3(n+1)^2 + 3 |

Passo 5

Vamos simplificar o limite. Perceba que para n^2 + 3(n+1)^2 + 3 approx n^2n^2 + 2n +1 = 11 + 2n + 1n^2 grande, limn to infty n^2 + 3(n+1)^2 + 3 = 1 e . Então:
Quando vai para infinito, e vão a zero:

Passo 6

Então, o limite L = limn to infty | (2x - 3) cdot 1 | = |2x - 3| fica:
|2x - 3| < 1
Para a série convergir, precisamos que :

Passo 7

Agora, vamos resolver a desigualdade:
|2x - 3| < 1 implies -1 < 2x - 3 < 1
Adicionando 3 em todas as partes:
2 < 2x < 4
Dividindo por 2:
1 < x < 2

Passo 8

O raio de convergência R = 12 é metade do comprimento do intervalo onde a série converge. Aqui, o intervalo é de 1 a 2, com comprimento 1. Então:
O intervalo de convergência é .

Resposta

O raio de convergência é e o intervalo de convergência é .

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