Justifique todas as suas respostas.
Determine se as sequências convergem ou divergem
, no caso que sejam convergentes, encontre o seu limite
Determine se as sequências convergem ou divergem
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me pediu para analisar a sequência
e determinar se ela converge ou diverge. Se convergir, vamos encontrar o limite. Para isso, vamos usar conceitos de limites de sequências e propriedades dos logaritmos.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão da sequência para facilitar nossa análise:
Podemos dividir cada termo no numerador por
:
Passo 3
Simplificando as frações:
Isso fica igual a:
Passo 4
Agora, vamos analisar o limite da sequência quando
tende ao infinito:
Podemos separar os limites:
Passo 5
Sabemos que o limite de uma constante é a própria constante:
Agora, analisamos o termo
. Conforme
cresce,
cresce, mas muito mais devagar que
. De fato:
Isso ocorre porque o crescimento linear de
domina o crescimento logarítmico de
.
Resposta
Portanto, a sequência
converge, e o seu limite é: