Justifique todas as suas respostas.
Determine se as sequências convergem ou divergem e, no caso que sejam convergentes, encontre o seu limite
an=-3 n-ln nn

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para analisar a sequência e determinar se ela converge ou diverge. Se convergir, vamos encontrar o limite. Para isso, vamos usar conceitos de limites de sequências e propriedades dos logaritmos.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da sequência para facilitar nossa análise:
an = -3n - ln nn
Podemos dividir cada termo no numerador por an = -( 3nn - ln nn ) :

Passo 3

Simplificando as frações:
an = -( 3 - ln nn )
Isso fica igual a:
an = -3 + ln nn

Passo 4

Agora, vamos analisar o limite da sequência quando limn to infty an = limn to infty ( -3 + ln nn ) tende ao infinito:
limn to infty an = limn to infty (-3) + limn to infty ln nn
Podemos separar os limites:

Passo 5

Sabemos que o limite de uma constante é a própria constante:
limn to infty (-3) = -3
Agora, analisamos o termo limn to infty ln nn = 0 . Conforme cresce, cresce, mas muito mais devagar que . De fato:
Isso ocorre porque o crescimento linear de domina o crescimento logarítmico de .

Resposta

Portanto, a sequência limn to infty an = -3 converge, e o seu limite é:

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