Justifique todas as suas respostas.
Determine se as sequências convergem ou divergem e, no caso que sejam convergentes, encontre o seu limite
bn=raiz9 n+24 n-1

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. A gente tem uma sequência definida por:
bn = raiz9n + 24n - 1
O objetivo é descobrir se essa sequência converge (ou seja, se ela tende a um número específico quando cresce) ou diverge (não tende a nenhum número específico). Se ela convergir, a gente também precisa encontrar qual é esse limite.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites de sequências, especialmente quando lidamos com frações e raízes.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a expressão dentro da raiz:
9n + 24n - 1
Quando 9n4n = 94 fica muito grande (ou seja, tende ao infinito), os termos que mais influenciam a expressão são os que têm . Então, os termos no numerador e no denominador são os mais importantes. Os outros termos e ficam menos significativos.
Então podemos simplificar a fração para:
Isso significa que, quando tende ao infinito, a fração se aproxima de .

Passo 3

Agora que sabemos que a fração dentro da raiz tende a raiz94 = raiz9raiz4 = 32 , vamos ver o que acontece com a raiz:
Portanto, a raiz da nossa expressão original tende a quando cresce.

Resposta

A sequência limn to infty bn = 32 converge e seu limite é:

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