Justifique todas as suas respostas.
Determine se as sequências convergem ou divergem
, no caso que sejam convergentes, encontre o seu limite
Determine se as sequências convergem ou divergem
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. A gente tem uma sequência definida por:
O objetivo é descobrir se essa sequência converge (ou seja, se ela tende a um número específico quando
cresce) ou diverge (não tende a nenhum número específico). Se ela convergir, a gente também precisa encontrar qual é esse limite.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites de sequências, especialmente quando lidamos com frações e raízes.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a expressão dentro da raiz:
Quando
fica muito grande (ou seja, tende ao infinito), os termos que mais influenciam a expressão são os que têm
. Então, os termos
no numerador e
no denominador são os mais importantes. Os outros termos
e
ficam menos significativos.
Então podemos simplificar a fração para:
Isso significa que, quando
tende ao infinito, a fração
se aproxima de
.
Passo 3
Agora que sabemos que a fração dentro da raiz tende a
, vamos ver o que acontece com a raiz:
Portanto, a raiz da nossa expressão original tende a
quando
cresce.
Resposta
A sequência
converge e seu limite é: