Justifique todas as suas respostas.
Determine, pelo método da sua preferencia, se a serie é convergente ou divergente
sumn=1^infty 2^n+14^n-1+2

Passo 1

Ok, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar, usando o método de nossa preferência, se a série é convergente ou divergente. Vamos precisar usar conceitos de séries infinitas e, mais especificamente, aplicar testes de convergência para chegar à resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o termo geral da série:
an = 2^n+14^n-1 + 2
Podemos simplificar o denominador para facilitar a análise:
Sabemos que an = 2^n+12^2n - 2 + 2 . Portanto, o termo fica:

Passo 3

Agora, vamos comparar os termos do numerador e do denominador. Observamos que cresce muito mais rápido que à medida que aumenta. Isso sugere que a série pode convergir, já que os termos diminuem rapidamente.

Passo 4

Para determinar a convergência da série, podemos aplicar o Teste da Razão (ou Teste de D’Alembert), que é útil para séries com termos envolvendo potências ou fatorial.
O Teste da Razão envolve calcular o limite:
L = limn to infty | an+1an |
Se , a série converge; se ou é infinito, a série diverge; se , o teste é inconclusivo.

Passo 5

Vamos calcular an+1an = 2^(n+1)+14^(n+1)-1 + 2 times 4^n-1 + 22^n+1 :
an+1an = 2^n+24^n + 2 times 4^n-1 + 22^n+1
Simplificando:
= 2^n+22^2n + 2 times 2^2(n-1) + 22^n+1
= 42^n + 22^n times 2^2n-2 + 22^n+1

Passo 6

À medida que L = limn to infty 42^n times 2^2n-22^n+1 = 0 tende ao infinito, os termos e tendem a zero. Então, o limite simplifica para:

Passo 7

Como o limite , que é menor que 1, pelo Teste da Razão, a série converge.

Resposta

A série é convergente.

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