Justifique todas as suas respostas.
Use a integral tripla para determinar o volume do sólido limitado pelo cilindro
e pelos planos
e
.
Use a integral tripla para determinar o volume do sólido limitado pelo cilindro
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é para a gente determinar o volume de um sólido que é limitado pelo cilindro $ y = x^{2} $ e pelos planos $ z = 0 $ e $ y + z = 1 $. Para resolver isso, vamos usar integrais triplas, que são ferramentas matemáticas que nos ajudam a calcular volumes de formas tridimensionais. Precisaremos entender como montar os limites de integração para $ x $, $ y $ e $ z $ dentro dessas restrições.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor as superfícies que limitam o sólido. O cilindro $ y = x^{2} $ é parabólico e se estende ao longo do eixo $ z $. O plano $ z = 0 $ é simplesmente o plano xy. Já o plano $ y + z = 1 $ pode ser reescrito como $ z = 1 - y $, mostrando que para cada valor de $ y $, $ z $ varia até $ 1 - y $.
Passo 3
Agora, precisamos definir os limites de integração para cada variável. Olhando para $ y = x^{2} $, vemos que $ y $ varia de $ x^{2} $ até o valor onde o cilindro e o plano se encontram. Como $ z = 1 - y $, e $ z \geq 0 $, então $ y $ varia de $ x^{2} $ até 1.
Para $ x $, observamos que $ y = x^{2} $ intersecta $ y = 1 $ quando $ x = \pm1 $. Então, $ x $ varia de -1 a 1.
Para $ z $, já sabemos que varia de 0 a $ 1 - y $.
Passo 4
Com os limites definidos, montamos a integral tripla para o volume $ V $:
Vamos resolver a integral interna primeiro:
Então, a integral fica:
Resolvendo a segunda integral:
Agora, a integral fica:
Resolvendo essa integral:
Calculando nos limites:
Para $ x = 1 $:
Para $ x = -1 $:
Subtraindo os dois resultados:
Resposta
O volume do sólido é $ \frac{8}{15} $ unidades cúbicas.