Justifique todas as suas respostas.
Use a integral tripla para determinar o volume do sólido limitado pelo cilindro y=x^2 e pelos planos z=0 e y+z=1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é para a gente determinar o volume de um sólido que é limitado pelo cilindro $ y = x^{2} $ e pelos planos $ z = 0 $ e $ y + z = 1 $. Para resolver isso, vamos usar integrais triplas, que são ferramentas matemáticas que nos ajudam a calcular volumes de formas tridimensionais. Precisaremos entender como montar os limites de integração para $ x $, $ y $ e $ z $ dentro dessas restrições.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor as superfícies que limitam o sólido. O cilindro $ y = x^{2} $ é parabólico e se estende ao longo do eixo $ z $. O plano $ z = 0 $ é simplesmente o plano xy. Já o plano $ y + z = 1 $ pode ser reescrito como $ z = 1 - y $, mostrando que para cada valor de $ y $, $ z $ varia até $ 1 - y $.

Passo 3

Agora, precisamos definir os limites de integração para cada variável. Olhando para $ y = x^{2} $, vemos que $ y $ varia de $ x^{2} $ até o valor onde o cilindro e o plano se encontram. Como $ z = 1 - y $, e $ z \geq 0 $, então $ y $ varia de $ x^{2} $ até 1.
Para $ x $, observamos que $ y = x^{2} $ intersecta $ y = 1 $ quando $ x = \pm1 $. Então, $ x $ varia de -1 a 1.
Para $ z $, já sabemos que varia de 0 a $ 1 - y $.

Passo 4

Com os limites definidos, montamos a integral tripla para o volume $ V $:
V
Vamos resolver a integral interna primeiro:
V = integralx=-1^1 integraly=x^2^1 integralz=0^1 - y dz , dy , dx
Então, a integral fica:
integral0^1 - y dz = [z]0^1 - y = 1 - y
Resolvendo a segunda integral:
V = integral-1^1 integralx^2^1 (1 - y) , dy , dx
Agora, a integral fica:
integralx^2^1 (1 - y) , dy = [ y - y^22 ]x^2^1 = (1 - 12) - (x^2 - x^42) = 12 - x^2 + x^42
Resolvendo essa integral:
V = integral-1^1 ( 12 - x^2 + x^42 ) dx
Calculando nos limites:
Para $ x = 1 $:
V = [ 12x - x^33 + x^510 ]-1^1
Para $ x = -1 $:
x = 1
Subtraindo os dois resultados:
12(1) - 1^33 + 1^510 = 12 - 13 + 110 = 1530 - 1030 + 330 = 830 = 415

Resposta

O volume do sólido é $ \frac{8}{15} $ unidades cúbicas.

Exercícios relacionados